MÉTHODES ET EXEMPLES EN MATHÉMATIQUES POUR LE BTS HÔTELLERIE
Michel CHARRIER 18 janvier 2008

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Chapitre 1

Equations et polynômes du troisième degré
1.1
1.1.1

Définitions
Equation et polynôme du troisième degré

Equation Toute égalité de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, b, c, et d sont des coefficients réels, a étant non nul. On se propose de donner des méthodes de résolution dans R dans le cas où une solution est "évidente". Polynôme du troisième degré à coefficients rationnels Toute expression de la forme : P (x) = ax3 + bx2 + cx + d où les coefficients sont des nombres rationnels (entiers ou fractions), le coefficient a étant non nul. Solution ou racine évidente Un réel α est solution évidente de l’équation ou racine du polynôme P si on peut avec un calcul simple montrer que : P (α) = aα3 + bα2 + cα + d = 0 En général α est un nombre simple : 1, 2, 3, −1, −2, −3 . . . Exemple : x3 + x2 + x − 3 = 0 a la solution évidente : α = 1 car P (1) = 0. Equations et polynômes à coefficients entiers, recherche des racines : le critère d’Eisenstein p On admet que si le rationnel est racine du polynôme P , alors p divise d et q divise a. (Les diviseurs sont ici positifs ou q négatifs). p est racine, alors p divise −1 et q divise 2. Il en résulte que : p ∈ {−1; 1} et Exemple : P (x) = 2x3 − x2 + 2x − 1. Si q 1 1 1 q ∈ {−2; −1; 1; 2}. Les racines "évidentes" possibles sont donc : −1, − , et 1. On vérifie ensuite que seul P =0 2 2 2 1 donc que est racine. 2

1.1.2

Factorisation

Factoriser un polynôme P du troisième degré, c’est le mettre sous la forme d’un produit de trois facteurs du premier degré ou bien d’un produit d’un facteur du premier degré par un facteur du deuxième degré. Tout polynôme du troisième degré a au moins une racine réelle. 3

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CHAPITRE 1. EQUATIONS ET POLYNÔMES DU TROISIÈME DEGRÉ et 2x3 − x2 + 2x − 1 = (2x − 1)(x2 + 1).

Exemples : x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Résultat admis : Si α est racine de P , alors P est