2 ALGEBRE

Exercice 2-1
Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E .

Solution :

On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite de la derivation et la commutativite du produit. Elle est egalement n X positive, puisque (P P ) = (P (j) )2 (aj ). Il reste a demontrer qu'elle est de nie. Or : (P P ) = 0 ) n X j =0 j =0

(P (j) )2 (aj ) = 0 ) P (j) (aj ) = 0

8j 2 f0 : : : ng

Mais, P etant un polyn^me de degre inferieur ou egal a n, P (n) (x) est une o constante et P (n)(an ) = 0 entra^ne que P (n) est identiquement nul. Ainsi P est un polyn^me de degre inferieur ou egal a (n ; 1). Mais alors P (n;1) (x) est o

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une constante et P (n;1) (an;1 ) = 0 entra^ne que P (n;1) est identiquement nul. Ainsi P est un polyn^me de degre inferieur ou egal a (n ; 2). On termine o aisement ce raisonnement.

Exercice 2-2
Soit d un nombre entier strictement positif et soient 1 2 : : : d , des nombres reels deux a deux distincts, et di erents de 1 et de ;1. On considere la fonction polynomiale L : x 7! (x ; k ), et la fonction k=1 rationnelle R : x 7! 2 1 2 . (x ; 1)L (x) On notera E , l'ensemble des nombres reels prive de f1 ;1 1 2 : : : d g. On admet qu'il existe 2d + 2 nombres reels A1 : : : Ad B1 : : : Bd , tels que : pour tout x appartenant a E , d d P A P () R(x) = x ; 1 + x + 1 + (x ; k )2 + x Bk k k=1 k=1 ; k 1. Calculer et en fonction de L(1) et de L(;1). 2. Exprimer Ak en fonction de k et de L0( k ). 0 k 2 00 k 3. On pourra admettre que Bk = ; 2 k L (( 2 ) + ( L0; 1)L ( k ) . k ; 1)( ( k ))3 4. On de nit la fonction polyn^me S par : S (x) = (x2 ; 1)L00 (x) + 2xL0 (x), o