Stephane

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  • Publié le : 21 janvier 2010
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2 ALGEBRE

Exercice 2-1
Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E .Solution :

On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite de la derivation et la commutativite du produit. Elle est egalement n X positive, puisque (P P ) = (P (j) )2 (aj ). Il reste a demontrer qu'elle est de nie. Or : (P P ) = 0 )
n X j =0 j =0

(P (j) )2 (aj ) = 0 ) P (j) (aj ) = 0

8j 2 f0 : : : ng

Mais, P etant un polyn^me de degreinferieur ou egal a n, P (n) (x) est une o constante et P (n)(an ) = 0 entra^ne que P (n) est identiquement nul. Ainsi P est un polyn^me de degre inferieur ou egal a (n ; 1). Mais alors P (n;1) (x) est o

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ESCP 99 - Oral

une constante et P (n;1) (an;1 ) = 0 entra^ne que P (n;1) est identiquement nul. Ainsi P est un polyn^me de degre inferieur ou egal a (n ; 2). On termine o aisement ceraisonnement.

Exercice 2-2
Soit d un nombre entier strictement positif et soient 1 2 : : : d , des nombres reels deux a deux distincts, et di erents de 1 et de ;1. On considere la fonction polynomiale L : x 7! (x ; k ), et la fonction k=1 rationnelle R : x 7! 2 1 2 . (x ; 1)L (x) On notera E , l'ensemble des nombres reels prive de f1 ;1 1 2 : : : d g. On admet qu'il existe 2d + 2 nombres reels A1: : : Ad B1 : : : Bd , tels que : pour tout x appartenant a E , d d P A P () R(x) = x ; 1 + x + 1 + (x ; k )2 + x Bk k k=1 k=1 ; k 1. Calculer et en fonction de L(1) et de L(;1). 2. Exprimer Ak en fonction de k et de L0( k ). 0 k 2 00 k 3. On pourra admettre que Bk = ; 2 k L (( 2 ) + ( L0; 1)L ( k ) . k ; 1)( ( k ))3 4. On de nit la fonction polyn^me S par : S (x) = (x2 ; 1)L00 (x) + 2xL0 (x), opour tout reel x. Prouver l'equivalence : (8 k 2 f1 2 : : : dg Bk = 0) () (9 2 R = S = L) Exprimer , quand il existe, en fonction de d. 5. Dans le cas ou d est egal a 2, determiner le polyn^me L tel que : o 8 k 2 f1 2g Bk = 0:
d Q

Solution :

1. On admet que :

R(x) =

x ; 1 x + 1 k=1 (x ; k )

+

+

d X Ak

+ 2

d X Bk

k=1 x ; k

Algebre

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Multiplions cetteexpression par (x ; 1). Il vient : 1 (x + 1)L2 (x) = + (x ; 1)g(x) ou g est une fonction continue en x = 1. En remplacant x par 1, on obtient : 1 = . 2 (1) 2L De m^me, en multipliant l'expression par (x + 1), il vient : e 1 (x ; 1)L2(x) = + (x + 1)h(x) ou h est une fonction continue en x = ;1. En remplacant x par ;1, on obtient : ; 2L21;1) = . ( 2. Reprenons la m^me idee que precedemment. Multiplionsl'expression de e R(x) par (x ; k )2 . On obtient : Q1 (x ; )2 = Ak + (x ; k )2gk (x) 2 ; 1) (x i i6=k ou gk est une fonction continue en x = k . En remplacant x par k , on obtient : 1 Ak = ( 2 ; 1) Q 1 ( ; )2 = ( 2 ; 1)L02 ( ) k k i6=k k i k En e et, si L(x) = fonctions donne : et :
d Y i=1

(x ; k ), la formule de derivation d'un produit de

L0 (x) =

d XY k=1 i6=k

(x ; i )

L0( k ) =Y

3. Obtenir Bk est un peu plus complique. Multiplions R(x) par (x ; k )2 , puis derivons l'xpression obtenue. Il vient : (x ; k )2 R(x) = (x ; k )2 `(x) + Ak + (x ; k )Bk ou ` est une fonction continue et derivable en x = k . En derivant, il vient : 0 1 0 (x2 ; 1)L2 (x) = (x ; k )(2`(x) + (x ; k )` (x)) + Bk k

i6=k

( k ; i)

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avec

ESCP 99 - Oral
Lk (x) =

Y
i6=k

(x ; i)

En posant dans cette derniere expression x = k , il vient : 0 1 Bk = (x2 ; 1)L2 (x) k x= En n : 0 2 2 0 1 1)L = ; 2xLk (x) (+ 22(x 1);L4 (xk)(x)Lk (x) (x2 ; 1)L2 (x) x ; 2 k k Or : L(x) = (x ; k )Lk (x) ) L0( k ) = Lk ( k ) L00 ( k ) = 2L0k ( k ) Finalement :
k

0 0 k 2 00 1 k = ; 2 k L (( 2 ) + ( L0; 1)L ( k ) Bk = (x2 ; 1)L2 (x) k k ; 1)( ( k ))3 x= 4. Supposons que pour tout k 2 f1 2...
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