Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole juin 2007

E XERCICE 1

4 points

2. Il faut trouver une fonction g telle que g (x) = A cos π x+B sin π x et donc g ′ (x) = 2 2 −A π sin π x + B π cos π x et vérifiant 2 2 2 2
2 1 1 A cos π 2 + B sin π 2 = 2 2 2 1 0 −A sin π 1 + B cos π 2 = 0 2 2 2 1 1 A +B = 1 ⇒ 2B = 1 ⇐⇒ B = et donc A = . −A + B = 0 2 2 1 1 Donc g (x) = cos π x + sin π x. 2 2 2 2

1. On sait que les solutions sont de la forme y = A cos πx + B sin πx, A ∈ R, B ∈ R.

g g′

1 2 1 2

= =

2 2

⇐⇒

⇐⇒

A

2 2

−A

2 2

+B

2 2

+B

2 2

= =

2 2

0

⇐⇒

3. g (x) =

1 1 2 cos π x + sin π x = 2 2 2 2 2
1 0 1

πx π π π 2 2 2 cos x + sin x = cos − . 2 2 2 2 2 2 4
1

4. La valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1] est égale à : 1 1−0 g (x)dx = πx π πx π 2 2 2 cos − sin − dx = 2 2 4 π 2 2 4 = π 2 sin − π 4

0

0

1 1 2 π 2 = + = . sin − π 4 π π π 5 points

E XERCICE 2

1. z 2 +2z +10 = 0 ⇐⇒ (z +1)2 −1+10 = 0 ⇐⇒ (z +1)2 +9 = 0 ⇐⇒ (z +1)2 −(3i)2 = 0 ⇐⇒ (z + 1 + 3i)(z + 1 − 3i) = 0. L’équation a donc deux solutions complexes conjuguées : {−1 − 3i ; −1 − 3i}. Autre méthode : ∆ = 4 − 40 = −36 = (6i)2 . . . 2. 3. −2c + d = 1 + 13i ⇒ par différence c = 3 − 5i, d’où d = c + 4 + 8i = 3 − −c + d = 4 + 8i 5i + 4 + 8i = 7 + 3i. a. Voir la figure à la fin de l’exercice.
− b. On a z−→ = −1 − 3i − (−1 + 3i) = −6i. AB −→ = 7 + 3i − (−1 + 3i) = 8. − zAD − − → → −→ − − → − → → − − On a donc AB = −6 v et AD = 8 u . Comme u et v sont orthogonaux, − − − → −→ AB et AD le sont aussi. Donc ABD est rectangle en A.

c. On a BC2 = 42 + (−2)2 = 16 + 4 = 20 ; CD2 = 42 + 82 = 16 + 64 = 80 ; BD2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100. On a 100 = 80 + 20 ⇐⇒ BD2 = CD2 + BC2 ⇐⇒ BCD est un triangle rectangle en C d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

A. P. M. E. P.

d. Les deux triangles rectangles BCD et BAD ont