Martingales et calcul stochastique
Master 2 Recherche de Math´matiques e Universit´ d’Orl´ans e e
Nils Berglund Version de Juillet 2010

Table des mati`res e
I Processus en temps discret
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3 . 3 . 4 . 6 . 7 . 9 . 11 13 13 14 14 16

1 Exemples de processus stochastiques 1.1 Variables al´atoires i.i.d. . . . . . . . . . e 1.2 Marches al´atoires et chaˆ e ınes de Markov 1.3 Urnes de Polya . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Le processus de Galton–Watson . . . . . 1.5 Marches al´atoires auto-´vitantes . . . . e e 1.6 Syst`mes dynamiques . . . . . . . . . . e 2 Construction g´n´rale des processus e e 2.1 Pr´liminaires et rappels . . . . . . . e 2.2 Distributions de dimension finie . . . 2.3 Noyaux markoviens . . . . . . . . . . 2.4 Le th´or`me de Ionescu–Tulcea . . . e e

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 Filtrations, esp´rance conditionnelle e 19 3.1 Sous-tribus et filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Esp´rance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 e 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Martingales 4.1 Definitions et exemples . 4.2 In´galit´s . . . . . . . . e e 4.3 D´composition de Doob, e 4.4 Exercices . . . . . . . . 27 27 28 29 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . processus croissant . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

.