Chapitre: STRUCTURES:

COMPLÉMENTS

1

Séries dans un evn

Définition 1 :
Un groupe cyclique est un groupe monogène fini
1 1 1 1 2 2 3 3 4

Table des matières
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau

Z

Exemple 1 :
G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 et aba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il n’y aura pas d’autres éléments, il suffit de montrer que K = {1, a, b, ab, ba, b2 } est un sous groupe de G, à l’aide d’une table de multiplication. 1 1 a b b2 ab ba a a 1 ba ab b2 b b b ab b2 1 ba a b2 b2 ba 1 b a ab ab ab b a ba 1 b2 ba ba b2 ab a b 1

L'anneaux

Z/nZ K[X]

Polynôme minimal Compléments

1

Sous groupes de Z
Théorème 1 :
Les sous groupes de Z sont de la forme nZ. c/c : H = K

1 a b b2 ab ba

Exercice 1. Montrer que H est isomorphe à

3

Preuve Déja pour tout n ∈ N, nZ est bien un sous groupe de Z. Soit maintenant H un sous groupe quelconque de Z, si H = {0}, on prend n = 0, sinon Soit n = min{x ∈ H, x > 0}, H est un sous groupe de Z, donc nZ ⊂ H, soit maintenant x ∈ H, on effectue la division euclidienne par n, x = nq + r, avec r < n. r = x − nq, donc r ∈ N ∩ H et par minimalité de n, on obtient r = 0 et donc x = nq ∈ nZ, et par suite H = nZ.

Exercice 2. Soit x un élément d’un groupe d’ordre fini, montrer que pour tout k ∈ N∗ : o(x) o(x k ) = o(x) ∧ k Exercice 3. Soient G un groupe, H et K deux sous groupes de G. on pose HK = {h.k/h ∈ H, k ∈ K} 1. Montrer que : HK est un sous groupe de G ssi KH = KH.

2

Groupe engendré

• Soit A une partie d’un groupe G, l’intersection de tous les sous groupes de G contenant A est un sous groupe de G, appelé le sous groupe de G engendré par A et noté 〈A〉, c’est d’ailleurs le plus petit sous groupe de G contenant A. Réciproquement si H est un sous groupe de G, et s’il