STT-4000

Statistique math´ ematique I

Solutions des exercices de la s´ erie 2

Num´ ero 1. Au num´ero 1 de la s´erie 1, l’estimation de σ 2 est s2 = (2.20 po)2 =
4.84 po2 Quelle est l’erreur-type associ´ee `a cette estimation ?
Solution. L’erreur type associ´ee `a une estimation est l’estimation de la racine carr´ee de l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur. L’estimateur S 2 ´etant sans biais pour σ 2 , son erreur quadratique moyenne est ´egal `a sa variance. On a vu que
2
4
Var[S
type√associ´ee `a l’estimation s2 est donc l’estimation
√ ] = 2σ /(n − 1). L’erreur
√
de

2 n−1 σ 2 c’est-`a-dire

2 n−1 s2 =

2
399

(2.20 po)2 = 0.3427 po2 .

Num´ ero 2. La densit´e de la loi du khi-deux `a k degr´es de libert´e est donn´e par
{
k
1
−1 −x/2
2
e si x > 0 k/2 Γ(k/2) x
2
fk (x) =
0
si x ≤ 0.
En ´etudiant le comportement de la d´eriv´ee de la fonction fk (x), on note que
(i) f1 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = ∞ ;
(ii) f2 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = 1/2 ; en fait, f2 (x) est simplement la loi exponentielle avec param`etre λ = 1/2 ;
(iii) si k > 2, alors fk (x) est une densit´e unimodale et limx→0+ fk (x) = 0.
Dans le cas o` u k > 2, obtenez la valeur modale de la densit´e fk (x) c’est-`a-dire la valeur x∗ o` u la densit´e atteint son maximum.
Solution. Je calcule x∗ = k − 2.

d dx fk (x), je pose ¸ca ´egal `a z´ero et je solutionne pour x. J’obtiens

Num´ ero 3.
(a) Expliquez pourquoi, lorsque k est suffisamment grand, on peut approximer la loi du khi-deux `a k degr´es de libert´e par la loi N (k, 2k).
(b) Dans le cas o` u X1 , X2 , ..., Xn sont i.i.d. N (µ, σ 2 ), montrer que pour tout choix de 0 < a < 1 et 1 < b < ∞ on a limn→∞ P[aσ 2 < S 2 < bσ 2 ] = 1.
Solution.
∑
(a) Si U ∼ χ2k , alors U a la mˆeme distribution que kj=1 Vj , avec V1 , V2 , ..., Vk
i.i.d. χ21 , donc i.i.d. avec moyenne 1 et variance 2. Le th´eor`eme limite central nous dit que la distribution d’une somme de k variables al´eatoires i.i.d. avec