Dimanche 27 Mai 2012

A nnée 2011/2012.

Maths 4 Fonctions Complexes
Corrigé du TD No 4

Exercice 1
Démontrer que pour tout z ∈ C, sin(iz) = i ch z,

sh z +

π i = i ch z.
2

S olution 1
A sin(iz) =
A sh z +

ei(iz) − e−i(iz) e−z − ez e−z − ez ez − e−z
=
= −i
=i
= i sh z
2i
2i
2
2

πi
2

= sh(z) ch(iπ/2) + ch(z) sh(iπ/2)
= sh(z) cos(π/2) + ch(z) (i sin(π/2)) = i ch z.
=0

=i

Exercice 2
1. Calculer : e1−3iπ , Log(5 + 12i).
2. Calculer en utilisant la détermination principale du logarithme :
Y = ii .

X = Log 15 − Log(−3) − Log(−5),
S olution 2

X e1−3iπ = e1 e−3iπ = e(cos(−3π) + i sin(−3π)) = e(−1) = − e .
X Log(5 + 12i) = Log |5 + 12i| + i Arg(5 + 12i) = Log
=

√

13 + i Arctg

1
12
Log(13) + i Arctg
+ 2kπi, où k ∈ Z.
2
5

12
5

+ 2kπi

Détermination principale du logarithme :
Log z = Log |z| + i Arg z, où Arg z ∈ [0, 2π[.
S X = Log(15) − Log(−3) − Log(−5) = (Log 15) − (Log 3 + iπ) − (Log 5 + iπ)
= Log 15 − (Log 3 + Log 5) − 2πi = −2πi.
S Y = ii = ei Log i = ei(Log |i|+iπ/2) = ei(0+iπ/2) = e−π/2 ∈ R.
Exercice 3
Soit z = x + iy où x et y sont dans R, déterminer alors le module de la fonction complexe suivante, f (z) = z sin z.
S olution 3

1

Dimanche 27 Mai 2012

Maths 4 Fonctions Complexes

A nnée 2011/2012.

C sin z = sin(x + iy) = sin(x) cos(iy) + cos(x) sin(iy) = sin(x) ch(y) + i cos(x) sh(y)
C | sin z|2 = sin2 x ch2 y + cos2 x sh2 y = (1 − cos2 x) ch2 y + cos2 x(ch2 y − 1)
= ch2 y − cos2 x = sh2 y + sin2 x,
C

|f (z)|2 = |z sin z|2

= |z|2 · | sin z|2 = sin2 x ch2 y + cos2 x sh2 y
= (x2 + y 2)(ch2 y − cos2 x)
= (x2 + y 2)(sh2 y + sin2 x).

Exercice 4
Résoudre dans C, sin z = 3.
S olution 4 eiz − e−iz
= 3 ⇐⇒ eiz − e−iz = 6i, posons T = eiz , ∀z ∈ C, T = 0.
2i
√
1
9 T − = 6i ⇐⇒ T 2 − 6iT − 1 = 0 ⇐⇒ (T − 3i)2 = 2i 2.
T
√
√
√
√
9 On a deux racines T1 = (3 + 2 2)i et T2 = (3 − 2 2)i = ( 9 − 8)i, ce sont 2 complexes imaginaires purs d’argument π/2.