Suite définie par une sommation

430 mots 2 pages

Suite définie par une sommation :

On conjecture que la suite (Vn) est croissante, qu 'elle est majoréé 1,65. On conjecture alors qu'elle converge vers un réél L inférieur ou égal à 1,65.

Au bout du rang 32 (Vn+1) – (Vn) ≤ 10^-3 car (Vn+1) – (Vn) =0,00097656 et au bout du rang 317 on a (Vn+1)-(Vn) ≤ 10^-5 car (Vn+1)-(Vn) = 9,9513E-06

On constate que la différence entre deux termes consécutifs tend vers 0 quand n tend vers + l’infini. Ceci confirme bien que plus n sera grand plus plus (Vn) tendra vers un réel L

3) On constate que la suite (Vn) est croissante, la suite (Xn) est décroissante, de plus ces deux suites semblent avoir la même limite environ égal à 1,65. On conjecture alors que les suites sont adjacentes.

4a) Prouvons le :

Montrons que (Vn) est croissante :

(Vn+1)-(Vn)= 1/ (n+1)²
Or un carré est toujours positif donc (Vn+1)-(Vn)>0 donc la suite (Vn) est croissante.

Montrons que (Xn) est décroissante :

(Xn+1)-(Xn) = 1/ (+1) + 1/ (n+1)²-1/n = ((n+2)/ (n+1)²)-(1/n) = -1/ ((n²+2n+1)*n)
Or vu que n est un entier naturel non nul le dénominateur est positif donc (Xn+1)-(Xn) est négatif. Donc la suite (Xn) est décroissante.

Montrons que limite (Xn-Vn) quand n tend vers + l’infini est égale à 0

On à (Xn) = (Vn) + 1/n d’où (Xn)-(Vn) = 1/n
Donc lim (Xn- Vn) quand n tend vers plus l’infini est égal à 0.

Donc les suites (Xn) et (Vn) sont adjacentes.

4b) Vu que les suite (Xn) et (Vn) sont adjacentes elles convergent vers un même réel L avec L
= lim Vn = lim Xn = L
Or d’après la question 1 on à L environ égal à 1,643. Donc la suite (Vn) converge vers 1,643.

Euler à montré que la suite (Vn) tendait vers Pi²/6 . Or on à (Vn) croissante et (Xn) décroissante, donc (Vn) sera toujours inférieur ou égal à Pi²/6 et (Xn) sera toujours supérieur ou égal à Pi²/6.
Finalement pour vérifier que Pi²/6 est bien la limite de (Vn) et (Xn) en + l'infini il suffit grâce à un calcul judicieux sur excel de montrer que (Vn) – Pi²/6 est

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