SUITES NUMERIQUES

I. Rappels

prérequis : définition, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, cf cours sur le livre page 24 et A p 100

II. Raisonnement par récurrence

C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912).

1. Axiome : principe de récurrence

Principe du raisonnement par récurrence :
Pour prouver qu'une propriété P est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier naturel n0 fixé, on procède en trois étapes :
Initialisation :
On montre que la propriété est vérifiée pour l’entier n0
Hérédité :
On montre que si la propriété est vraie pour un entier naturel k≥n0 (c’est l’hypothèse de récurrence) alors elle est vraie pour l’entier suivant k+1
Conclusion :
Comme la propriété est vraie pour l’entier n0 et est héréditaire à partir de ce rang, on conclut que la propriété est vraie pour tout entier n≥n0

1. Exemple
Soit la suite définie par u0=0 et un+1=2un+1.
Calculer les premiers termes de cette suite et conjecturer l’expression de un en fonction de n.
Prouver alors cette conjecture par récurrence

Remarque : L'initialisation est indispensable.
En effet, démontrons par exemple que la propriété "2n est divisible par 3" est héréditaire sans vérifier l'initialisation.
Supposons qu'il existe un entier k tel que 2k est divisible par 3.
2k+1 = 2k x 2 = 3p x 2, où p est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence). = 6p
Donc 2k+1 est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie.

Méthode : Démontrer la monotonie par récurrence
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par et .
Démontrer par récurrence que la suite (un) est croissante.

Initialisation :

donc

Hérédité : - Hypothèse de récurrence :