Suites géométriques
I/ Définition :
On dit qu’une suite Un est géométrique, s’il ∃ un réel q tel que ∀ n∈N, on a Un+1=qUn.
Le réel q est appelé raison de cette suite.
Exemple :
La suite Un définie par : Un=-4×5nest-elle géométrique ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison.
Réponse :
On calcule alors : Un+1Un=-4×5n+1-4×5n=5 ⇨Un est géométrique de raison q=5 et de premier terme U0=-4×50=-4 .
Remarque :
Si a,b,c,d,… sont des termes consécutifs d’une suite géométrique, on dit que qu’ils sont en progression géométrique.
Exemple : a=12 ,b=14 , c=18 , d=116 sont en progression géométrique.
II/ Terme général d’une suite géométrique
1/ Le terme général :
Soit Un une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q≠0. Le terme général est : Un=U0×qn.
Exemple :
Soit Un une suite géométrique de premier terme U0=2 et de raison q=4.
Le terme général est : Un=2×4n.
2/ Relation entre deux termes d’une suite géométrique : Soit Un une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q, et soit n et p deux entiers naturels, on a : Un=Up×qn-p. Exemple :
Soit Un une suite géométrique de raison q=3 et telle que U6=3. Calculer U9.
Solution :
Un une suite géométrique alors : U9=U6×q9-6=3×33=3×33=93
III/ Représentation graphique d’une suite géométrique : On va représenter une suite géométrique Un telles que U0=3 et q=2. n | Un | 0 | 3 | 1 | 6 | 2 | 12 | 3 | 24 | 4 | 48 |

IV/ Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique : * La somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q≠1 est : S=a×1-qn1-q ; où a est le premier terme de la somme.
Si q=1 alors S=na. * 1+q+q2+q3+…+qn=1-qn+11-q , où q≠1.
Si q=1 alors 1+q+q2+q3+…+qn=n+1.

Exemples : 1/ Soit Un une suite géométrique de premier terme U0=3 et q=2. On pose S=U0+U1+U2+…+U8 et S'=U13+U14+U15+…+U19. Calculer S et S'. Solution : S=U0×1-q8-0+11-q=3×1-291-2=-3×1-512=1533