SUITES
PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires 5) Suites récurrentes 6) Suites homographiques IV : Comparaison des suites numériques 1) Suites équivalentes 2) Suites de références Annexe I : fonctions chaotiques 1) Etude d'une suite récurrente 2) Fonctions chaotiques Annexe II : Caractérisations du corps des réels I : Corps des réels 1– Propriétés u Un réel peut être vu, sous forme numérique, comme un entier relatif constituant sa partie entière, suivie d'une infinité de chiffres constituant sa partie décimale. EXEMPLE : -1-

π = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751... Nous préférons cependant partir de propriétés de plutôt que de cette définition, qui pose par ailleurs un certain nombre de problèmes. Par exemple, les deux réels suivants (le premier étant suivis d'une infinité de 0 et le second d'une infinité de 9) sont égaux : 5,280000000000000000000... et 5,279999999999999999999....... (la différence vaut en effet 0.00000000000000000000... et est nulle !!). D'autre part, les opérations sur deux réels ne sont pas si facilement définies qu'il y paraît. Pour connaître la nème décimale d'une somme, par exemple, il faut connaître tous les chiffres qui suivent pour savoir si une retenue ne serait pas susceptible de se propager de droite à gauche jusqu'à la décimale considérée. Nous supposerons donc plutôt qu'il existe un corps , contenant , muni d'une relation d'ordre (inégalité) compatible avec les opérations de dans le sens suivant : ∀ a, ∀ b, ∀ c, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀ a, ∀ b, ∀ c ≥ 0, a ≤ b ⇒ ac