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Suites numériques I – Généralités sur les suites
1. Exemples préliminaires :
1er exemple : Au 1er janvier 2007, la population d’une ville est de 200 000 habitants. Notons la P0 . Des experts estiment que cette population doit augmenter de 4 000 habitants par an dans les années à venir. Notons Pn la population de la ville à l’année 2007+n. Donner P0 , P , P2 , P3 et Pn +1 en fonction de Pn . 1Solution : Au 1er janvier 2007, la population est de P0 Au 1er janvier 2008, la population est de P 1 er Au 1 janvier 2009, la population est de P2 Au 1er janvier 2010, la population est de P3 Ainsi de suite… On a Pn + 1 = Pn + 4 0 0 0 2ème exemple : On suppose maintenant que la population augmente de 2% par an. Solution : Au 1er janvier 2007, la population est de P0 habitants, et P0 = 200000 Au1er janvier 2008, la population est de P habitants, et 1
2 2  = P0  1 + 100 100  er Au 1 janvier 2009, la population est de P1 = P0 + P0 ×   = 1, 0 2 × P0 = 1, 0 2 × 2 0 0 0 0 0 = 2 0 4 0 0 0  P2 habitants, et

habitants, et habitants, et habitants, et habitants, et

P0 = 200000 P1 = P0 + 4 0 0 0 = 2 0 4 0 0 0 P2 = P1 + 4 0 0 0 = 2 0 8 0 0 0 P3 = P2 + 4 0 0 0 = 2 1 2 0 0 0

P2 = 1, 0 2× P1 = 1, 0 2 × 2 0 4 0 0 0 = 2 0 8 0 8 0 Au 1er janvier 2010, la population est de P3 habitants, et P3 = 1, 0 2 × P2 = 2 1 2 2 4 2 Ainsi de suite… On a Pn+1 = Pn +
Pn + 1 2 Pn 100 = 1, 0 2 × Pn

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2. Définition d’une suite :
Une suite est une fonction de l’ensemble ℕ (ou d’une partie de ℕ ) dansℝ . On écrit u n pour désigner l’image de n par la suite u . On note souvent ( u n ) ou u la suite en tant qu’objet mathématique. u n , sans parenthèses, désigne l’image de n par ( u n ) . C’est le terme d’indice n de la suite.

Exemples :
Soit la suite u de terme général u n = 2 n On a : u 0 = 0 , u 1 = 1, u 2 = 4 , u 3 = 6 ... Les termes de la suite u sont les entiers pairs. Soit la suite u determe général u n = 2 n + 1 On a : u 0 = 1, u 1 = 3 , u 2 = 5 , u 3 = 7 ... Les termes de la suite u sont les entiers impairs. Soit la suite u de terme général u n = 2 n
On a : u 0 = 1, u 1 = 2 , u 2 = 4 , u 3 = 8 , u 4 = 1 6 ... Les termes de la suite u sont les puissances de 2. Soit la suite u de terme général u n = On a : u 0 = 0 , u 1 = 1 ,u2 2 n n +1 2 3 = , u 3 = ... 3 4

3. Lesdifférents modes de génération d’une suite :
Une suite peut être définie de l’une ou l’autre des deux manières suivantes :

Définition d’une suite par la définition du terme général en fonction de n :
Suite du type : u n = g ( n ) On peut alors obtenir facilement la valeur d’un terme u n pour une valeur de n donnée.

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Représentation graphique :

Représentation graphique de la suite de terme général u n = 5 s i n n

Définition d’une suite par la donnée du 1er terme et d’une relation entre u n et u n + 1
Suite du type : u n + 1 = g ( u n )

Les 2 exemples d’introduction (I.1.) sont des suites de ce type.

Autre exemple :
u0 = 1
Suite définie par :

u n +1 =

1 un − 2 2

On a alors: u 1 = −

3 1  3  11 ,u2 = ... − − 2 = − 2 2  2  4

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Représentation graphique :
droite y = x

droite y =

1 x− 2 2

4. Sens de variation d’une suite :
Une suite de terme général u n est une suite croissante si pour tout n ∈ ℕ , on a :
u n ≤ u n +1

Une suite de terme général un est une suite décroissante si pour tout n ∈ ℕ , on a :
u n ≥ u n +1

Une suite de terme général u n est une suite constante (ou stationnaire) si pour tout n ∈ ℕ , on a : u n = u n +1

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Etude du sens de variation d’une suite :
Cas général : on étudie le signe de u n + 1 − u n Si u n +...
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