Suites

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 12 (2918 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 6 octobre 2009
Lire le document complet
Aperçu du document
Complément sur les suites : Récurrence, suites récurrentes du type

un +1 = f (un ) …

Animations liées sur le site : Représentation graphique des termes d’une suite : cette applet java permet de représenter entre autre, les termes des suites récurrentes de la forme un +1 = f (un ) avec la fonction f de votre choix, ainsi que le terme initial voulu. Très pratique !http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suite-un/suite_ts.php Le cours complet illustré : vous retrouverez notamment les suites récurrentes, les suites adjacentes, des exemples classiques et bien illustrés… http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suites-base/index.php

-1D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S : Cours – Compléments sur les suites

Position du problèmeDe nombreuses questions (simples) relatives aux suites restent encore sans réponse. 1  u = u + 1 . Considérons par exemple la suite définie par  n +1 2 n u0 = −1  Représentons graphiquement les premiers termes de la suite (représentation tracée avec une animation du site) Il semble donc que cette suite soit croissante, majorée (par 2) et même convergente.
→ Pourtant, lorsqu’on essaye lesméthodes classiques pour démontrer ces deux premiers points, on bloque. Par exemple : 1 1 un +1 − un = un + 1 − un = 1 − un et nous ne 2 2 sommes pas capables de conclure sur le signe de cette quantité.

u0

u1

u2

u3

→ Ensuite, même en supposant que cette suite est croissante et majorée, nous savons certes qu’elle converge, mais avec nos outils actuels, nous sommes incapables de prouverqu’elle converge vers 2.
Ce chapitre a pour objectifs de préciser le comportement des suites de la forme un +1 = f ( un )

→ en mettant en place un nouveau type de raisonnement, le raisonnement par récurrence, qui nous permettra par exemple d’étudier la monotonie d’une suite, son caractère borné… → en apportant un nouvel outil sur la construction de la limite d’une suite convergente.
Nousaborderons enfin la notion de suites adjacentes, qui nous permettra par exemple en terminale S d’approcher l’aire de la surface sous une courbe…

-2D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S : Complément sur les Suites : récurrence…

Note Tous les exercices ou les démonstrations des propriétés de ce chapitre se trouvent à la fin de ce document. I – Raisonnementpar récurrence Vocabulaire. △ Soit P(n) une proposition (quelque chose qu’on propose) qui dépend de l’entier n. On dit que P(n) est héréditaire si « P(n) vraie ⇒ P(n + 1) vraie » : c’est-à-dire que P(n) est héréditaire, si lorsqu’on suppose que P(n) est vraie, alors forcément P(n+1) [le rang suivant] est vraie. △ Lorsque l’on suppose que P(n) est vraie, on parle d’hypothèse de récurrence.Exemple. 1 Soit un +1 = un + 1 : démontrons que la proposition P(n) « un ≥ 2 » est héréditaire. 2 Supposons donc qu’à un rang n, un ≥ 2 et montrons que sous cette hypothèse, c’est encore vraie au rang suivant. On a donc au rang n, un ≥ 2 donc

1 1 un ≥ 1 d’où un + 1 ≥ 2 cad un +1 ≥ 2 : donc P(n+1) est vraie. 2 2 Ainsi, cette proposition est héréditaire.

Principe raisonnement par récurrence. (1) (2)(3) Soit P(n) une proposition qui dépend de l’entier naturel n. Si la proposition P(n) est vraie pour l’entier n0. Si la proposition P(n) est héréditaire.

Alors, pour tout entier n ≥ n0 , la proposition P(n) est vraie.

Exemple avec corrigé détaillé.

1  un +1 = un + 1 Reprenons la suite de l’activité d’introduction  . Nous avons émis la conjecture que 2 u0 = −1 
pour tout n, un ≤ 2. Démontrons le par récurrence [respectez bien l’enchaînement suivant]. • • • Enoncé de P(n) : Soit P(n) la proposition « un ≤ 2 » Initialisation : Nous savons que u0 = −1 donc u0 ≤ 2 ce qui signifie que P(0) est vraie. Hérédité : supposons que P(n) est vraie à un certain rang, et prouvons qu’alors P(n+1) est vraie. 1 1 Supposons donc qu’au rang n, un ≤ 2 . Alors un ≤ 1 donc un + 1 ≤ 2 ce qui...
tracking img