Suites

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SUITES
I) Notion - Définitions :
a) notion de suite numérique :
En France, le premier service météorologique est créé en 1855. A partir de
cette date, les températures sont relevées chaque jour. La liste de tous les nombres
obtenus grâce à ces mesures permet d'observer l'évolution du climat. Pour cela,
cette liste doit être ordonnée afin de pouvoir se repérer et dater les constatations.
Supposonsque les premiers termes de cette liste soient :
–4,5°; 6°; 15°; –9,4° etc.
Vous savez alors que le deuxième terme de la liste (dit aussi "terme de rang 2") (6°)
correspond à la température relevée le deuxième jour, que –9,4° est la température
du 4ème jour etc.
Imaginez que les relevés des températures se poursuivent indéfiniment au
cours du temps, vous obtenez une liste ordonnée de nombres réelscontenant un
nombre infini de termes.
Cela vous donne une assez bonne idée de ce qu'est en mathématiques une
suite numérique.
Ecrire une telle liste, c'est associer à un nombre réel
(la température) le nombre correspondant au rang
qu'il occupe !!
15 correspond au rang 3; –9,4 au rang 4 etc.
On a donc défini une fonction !!
Par exemple, 6 est l'image de 2 par cette fonction.

b) définition etnotation :
définition : Une suite numérique u est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou sur une partie de à partir d' un certain entier naturel (**))
Cette suite est notée (un)
On note un ou u(n) le terme de rang n de la suite.
Ex :
► Le tableau ci-dessous donne la température moyenne annuelle relevée à Paris
(source : station météo de Paris-Montsouris)
année
2003 2004 20052006
température
5,13 9,60 11,96 11,98
moyenne (°C)

2007 2008 2009 2010 2011 2012 ......
11,43 11,37 11,56 10,24 11,99 10,81

On peut définir la suite un des températures en choisissant comme rang n le nombre
d'années écoulées depuis l'an 2003.
On a alors u0 = 5,13; u1 = 9,6; ...... u6 = 11,56
10,81 est le terme de rang 9 de la suite (un)
► (**) A partir des données du tableau précédent, on auraittrès bien pu définir une
suite (vn) à partir du rang 2003.
On a alors v2003 = 5,13; v2004 = 9,6; ...... v2009 = 11,56
La fonction v est ici définie sur une partie de
(tous les entiers naturels supérieurs
ou égaux à 2003). La suite numérique (vn) peut aussi s'écrire (vn)n 2003

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II) Modes de génération d'une suite numérique :

Pour définir, créer une suite on
peututiliser plusieurs procédés !

a) à l'aide d'une formule explicite :
définition : Quand une suite (un) est donnée par son terme général un défini directement en fonction de n, on dit que la suite est définie sous forme explicite.
Ex :
► Soit la suite (wn) telle que wn = 3n + 2
w0 = 3 x 0 + 2 = 2; w7 = 3 x 7 + 2 = 23
► Soit la suite (vn) telle que vn = n - 4
v4 = 4 – 4 = 0; v9 = 9 – 4 = 5
b) parrécurrence :

on a wn = (n) avec (x) = 3x + 2!

attention, la suite vn n'est définie qu'à partir du
rang n=4 !! Le nombre sous le radical ne peut
pas être négatif !

Je suis sur le premier barreau d'une échelle. Je hisse mon pied droit sur le
deuxième échelon, j'exerce une poussée et me voilà sur le barreau suivant.
Je vais maintenant répété le processus précédent pour atteindre le troisième
échelon. Etainsi de suite pour continuer à grimper. Je procède par récurrence (du latin recurrere "revenir en arrière"). Je regarde "en arrière" pour
reproduire le procédé.

définition : Quand une suite
(un) est donnée par son premier
terme et une relation exprimant
chaque terme en fonction du
précédent, on dit que la suite (un) est définie par une relation de récurrence.
la suite (un) est qualifiée de suiterécurrente

Ex :
► Soit la suite (vn) telle que v0 = 5 et vn+1 = 4vn – 3
v1 = 4v0 – 3 = 4 x 5 – 3 = 17
(vn) est définie par son premier v0 = 5 et la relation de
v2 = 4v1 – 3 = 4 x 17 – 3 = 65
récurrence vn+1 = (vn) avec (x) = 4x – 3
etc.
III) Représentation graphique d'une suite :
a) sur un axe :
Soit (un) la suite formée par les entiers impairs rangés dans l'ordre croissant.
On place les...