Sujet bac s maths 2010 france métropolitaine

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METROPOLE
Exercice 1 : (6 points)

Juin 2010

Série S

Page 1 sur 7

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = e– x. 1. Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels  par u(x) = xe– x est une solution de l'équation différentielle (E). 2. On considère l'équationdifférentielle (E') : y' + y = 0. Résoudre l'équation différentielle (E’). 3. Soit v une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction v est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v – u est solution de l'équation différentielle (E’). 4. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). 5. Déterminer l'unique solution g del'équation différentielle (E) telle que g(0) = 2. Partie B : On considère la fonction fk définie sur l'ensemble  des nombres réels par fk(x) = (x + k) e– x où k est un nombre réel donné. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal. 1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1 – k 2. On note Mk le point de la courbe Ck d'abscisse 1 – k. Montrer que le pointMk appartient à la courbe Γ d'équation y = e– x. 3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes : • la courbe Γ d'équation y = e– x. • la courbe Ck d'équation y = (x + k)e– x pour un certain nombreréel k donné. a. Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). b. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes. 4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ⌠ (x + 2) e– x dx. Donner une interprétation ⌡0 graphique de cette intégrale.
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METROPOLE
Exercice 2 : (5 points)

Juin 2010

Série S

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Commun à tous les candidats

1) Restitution organisée de connaissances. Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alorselles sont convergentes et elles ont la même limite. Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.

Propriété 1 : si deux suites (un) et (vn) sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante alors, pour tout entier naturel n, vn ≥ un. Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toutesuite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. 2) Dans les cas suivants, les suites (un) et (vn) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? Justifier les réponses. a) un = 1 – 10– n et vn = 1 + 10– n ; b) un = ln (n + 1) et vn = ln (n + 1) + 1 (–1)n et vn = 1 + . n n 1 ; n

c) un = 1 –

3) On considère un nombre réel a positif et les suites (un) et (vn) définies pour tout nombre entier 1 1 naturel n non nul par : un = 1 – et vn = ln a + .  n n   Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?

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METROPOLE
Exercice 3 : (4 points)

Juin 2010

Série S

Page 3 sur 7

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est...
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