Sujet cg math 2000

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CONCOURS GENERAL 2000
|                                                                  Problème |
|Ce problème traite des triangles ditcartésiens, c'est à dire à côtés entiers   |
|                                            BC = a , CA = b et AB = c ,|
|dont l'angle en A mesure [pic].   Sauf avis contraires, ABC est supposé cartésien. |
|1: Notant H son orthocentreorthogonalement projeté en ( U , V , W ) sur les trois côtés, |
|    déterminez les nombres rationnels parmi|
|        AU , BV , CW , HA , HB , HC , HU , HV , HW , AW , AV , BU , BW , CV et CU. |
|2: Notant I soncentre du cercle inscrit, J l'intersection de la bissectrice intérieure en A et des |
|    bissectrices extérieures en les autres sommets, et P , Q les intersections dela droite BC et |
|    des deux bissectrices en A , déterminez les nombres rationnels parmi ||                             PC , PB , QB , QC , AI , AJ , AP et AQ . |
|3: On suppose désormais b et c premiers entre eux.|
|    Montrez que, quitte à échanger b et c , a + b - c est multiple de 3 et a - b + c ne l'est pas. |
|4: On pose[pic]où p et q sont des entiers premiers entre eux strictement postifs. |
|    On note d le pgcd de p (3 p + 2 q ) et de q (2 p + q )....
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