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  • Publié le : 19 juin 2010
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Chapitre 1

1

Chapitre 2

2

Chapitre 3 Variables al´atoires continues e
3.1. Variables al´atoires continues e

D´finition: e On dit qu’une v.a.r X d´finie sur l’espace de probabilit´ (Ω, A, P ), est continue si X(Ω) contient e e au moins un intervalle de R. Remarques: On ne rencontrera dans la suite que des v.a.r. X absoulument continues pour lesquelles, ∀x ∈ R, P (X = x) = 0. Les´v´nements de probabilit´ non nulles seront donc les e e e intervalle R. Contrairement au cas discret, l’ensemble des observables X(Ω) n’est pas d´nombrable e dans le cas continu. Il nous faut donc abandonner le signe somme , que l’on remplacera par le signe int´grale . e

3.2.

Densit´ de probabilit´ e e

D´finition: e Soit X une v.a.r continue. On appelle densit´ de probabilit´ de X, lafonction fX d´finie sur e e e R, telle que pour tout inervalle [a, b] de R:
b

P (a ≤ X ≤ b) =
a

fX (x)dx

Exemple: Soit X une v.a.r. continue de densit´ fX d´finie sur R par e e fX (x) = fX est positive, continue sur R sauf en 0 et
1/4

e−x si x ≥ 0 0 sinon
+∞ −∞ 1/4

fX (x)dx = 1. On peut calculer par exemple:
1/4

P (−2 ≤ X ≤ 1/4) =
−2

fX (x)dx =
0

fX (x)dx = [−e−x ]0 3

= 1− e−1/4

0, 221

Variables al´atoires continues e A partir de la d´finition pr´c´dente, on obtient directement le r´sultat suivant: e e e e Propri´t´: e e Soit X une v.a.r. continue de densit´ de probabilit´ fX . Alors, on a e e ∀x ∈ R, fX (x) ≥ 0 fX est une fonction continue sur R sauf en un nombre fini de points.
+∞ −∞

4

fX (x)dx = 1

3.3.

Fonction de r´partition e

D´finition: eSoit X une v.a.r. continue. On appelle fonction de r´partition de X, la fonction FX d´finie e e ∀x ∈ R par FX (a) = P (X ≤ a) Exemple: Soit X une v.a.r. continue de fonction de r´partition FX d´finie sur R par e e   0 si x ≤ 0 x/2 si 0 ≤ x ≤ 2 FX (x) =  1 si x ≥ 2 FX est continue et croissante. On peut calculer par exemple P (−1 ≤ X ≤ 1) = FX (1) − FX (−1) = 1 2

Propri´t´: e e Soit X une v.a.r.continue de fonction de r´partition FX . Alors, on a e FX est continue sur R. FX est ` valeurs dans [0, 1]. a
a→−∞

l´ FX (a) = 0 et ım

a→+∞

l´ FX (a) = 1. ım

FX est croissante. FX (b) − FX (a) = P (a ≤ X ≤ b) Remarque: Pour cette derni`re propri´t´, on peut ´crire a < X < b, a ≤ X < b ou a < X ≤ b sans changer e ee e le r´sultat final. e La proposition suivante d´coule directement dela d´finition pr´c´dente. e e e e Proposition: Soit X une v.a.r. continue de densit´ fX et de fonction de r´partition FX . Alors, ∀a ∈ R e e
a

FX (a) =
−∞

fX (x)dx ,

FX (a) = fX (a)

Fili`res: GI: S3 e

Variables al´atoires continues e

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Remarque: Ainsi, ` partir de la densit´ fX , on peut d´terminer la fonction de r´partition FX . Dans a e e e l’exemple pr´c`dent, ∀a ∈ R, sia ≤ 0, FX (a) = 0 et si a > 0 e e
a a

FX (a) =
−∞

fX (x)dx =
0

e−x dx = [−e−t ]a = 1 − e−a 0

R´ciproquemnt, a partir de la fonction de r´partition FX , on peut d´terminer la densit´ fX . e ` e e e Dans l’exemple 2, on a   0 si x ≤ 0 1/2 si 0 ≤ x ≤ 2 fX (x) =  0 si x ≥ 2

3.4.
3.4.1.

Esp´rance et variance e
Esp´rance e

D´finition: e Soit X une v.a.r continue de densit´ deprobabilit´ fX . On appelle esp´rance de X, not´e e e e e E(X), le nombre r´el, s’il existe, d´fini par e e
+∞

E(X) =
−∞

xfX (x)dx

Remarque: Il peut arriver que l’integrale ci-dessus soit divergente. Dans ce cas, on dit que X n’a pas d’esp´rance. e Exemple 1: On a par int´gration par parties e
+∞ +∞

E(X) =
−∞

xfX (x)dx =
0

xe−x dx = 1

Exemple 2:
+∞ 2

E(X) =
−∞

xfX(x)dx =
0

x x2 dx = 2 4

2

=1
0

Th´or`me: e e Soit X une v.a.r. continue de densit´ de probabilit´ fX . Soit h une fonction d´finie sur X(Ω) e e e a valeurs r´elles. Alors, l’esp´rance de h(X), si elle existe, est donn´e par ` e e e
+∞

E(h(X)) =
−∞

h(x)fX (x)dx

Remarque: On a en particulier
+∞

E(X ) =
−∞

2

x2 fX (x)dx

Fili`res: GI: S3 e

Variables...
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