Chapitre 1

1

Chapitre 2

2

Chapitre 3 Variables al´atoires continues e
3.1. Variables al´atoires continues e

D´finition: e On dit qu’une v.a.r X d´finie sur l’espace de probabilit´ (Ω, A, P ), est continue si X(Ω) contient e e au moins un intervalle de R. Remarques: On ne rencontrera dans la suite que des v.a.r. X absoulument continues pour lesquelles, ∀x ∈ R, P (X = x) = 0. Les ´v´nements de probabilit´ non nulles seront donc les e e e intervalle R. Contrairement au cas discret, l’ensemble des observables X(Ω) n’est pas d´nombrable e dans le cas continu. Il nous faut donc abandonner le signe somme , que l’on remplacera par le signe int´grale . e

3.2.

Densit´ de probabilit´ e e

D´finition: e Soit X une v.a.r continue. On appelle densit´ de probabilit´ de X, la fonction fX d´finie sur e e e R, telle que pour tout inervalle [a, b] de R: b P (a ≤ X ≤ b) = a fX (x)dx

Exemple: Soit X une v.a.r. continue de densit´ fX d´finie sur R par e e fX (x) = fX est positive, continue sur R sauf en 0 et
1/4

e−x si x ≥ 0 0 sinon
+∞ −∞ 1/4

fX (x)dx = 1. On peut calculer par exemple:
1/4

P (−2 ≤ X ≤ 1/4) =
−2

fX (x)dx =
0

fX (x)dx = [−e−x ]0 3

= 1 − e−1/4

0, 221

Variables al´atoires continues e A partir de la d´finition pr´c´dente, on obtient directement le r´sultat suivant: e e e e Propri´t´: e e Soit X une v.a.r. continue de densit´ de probabilit´ fX . Alors, on a e e ∀x ∈ R, fX (x) ≥ 0 fX est une fonction continue sur R sauf en un nombre fini de points.
+∞ −∞

4

fX (x)dx = 1

3.3.

Fonction de r´partition e

D´finition: e Soit X une v.a.r. continue. On appelle fonction de r´partition de X, la fonction FX d´finie e e ∀x ∈ R par FX (a) = P (X ≤ a) Exemple: Soit X une v.a.r. continue de fonction de r´partition FX d´finie sur R par e e   0 si x ≤ 0 x/2 si 0 ≤ x ≤ 2 FX (x) =  1 si x ≥ 2 FX est continue et croissante. On peut calculer par exemple P (−1 ≤ X ≤ 1) = FX (1) − FX (−1) = 1 2

Propri´t´: e e Soit X une