les aspects mathématiques du coût marginal
Il nous faut envisager les relations du coût marginal avec le coût total, le coût moyen et le profit. 1. Coût marginal et coût total
Quelle que soit la relation mathématique qui lie le coût total aux quantités, le coût total
(Cto) est fonction des quantités et on peut écrire :
Cto = f(Q) avec Q exprimant les quantités
Compte tenu de la définition du coût marginal (Cma), on obtient :
Cma =
Si Q est infiniment petit et que f (Q) est dérivable, la valeur de Cma quand Q →0 est égal à la dérivée du coût total : et donc : Coût marginal = Dérivée du coût total
2. Coût marginal et coût moyen
Pour une structure donnée, il est important de connaître la quantité de produits pour laquelle le coût moyen est minimum, puisque cette quantité permet une production au moindre coût.
Le coût moyen (Cmo) est égal au coût total divisé par les quantités :
Cmo = Cto / Q ou encore Cmo = f(Q) / Q
Une fonction est minimum lorsque sa dérivée première est nulle et que sa dérivée seconde est positive. En admettant les conditions de second ordre, la dérivée du coût moyen s’écrit :
Cmo′= = 0
Il vient que : f ’(Q) = f(Q)/ Q
Cma = Cto′= f ′(Q)
Cma Cmo
Le coût marginal est égal au minimum du coût moyen. fQ + Q– fQ
Q
------------------------------------------- f′QQ – fQ
Q2
Ce point caractéristique s’appelle l’optimum technique (point A du graphique). Il représente la quantité de produit pour laquelle la combinaison productive est la plus économique.
3. Coût marginal et profit
Selon un raisonnement similaire à celui du coût total (titre 1), la recette totale (Rto), la recette marginale (Rma) et la recette moyenne (Rmo) peuvent être définies. Comme la recette totale est fonction des quantités, on peut écrire :
Rto = g(Q)
Rma = Rto′= g′(Q)
Rmo = Rto / Q = g(Q) / Q
Le profit se définit comme la différence entre la recette totale et le coût total. Il est maximum quand sa dérivée première est nulle et