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CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE
I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction géométrique u+v u −v

u

u

v

v

3) Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Réaliser un calcul ; les coordonnées de AB sont (x ; y) d'où AB = xi + y j ou

AB = ( xB − x A ) i + ( yB − y A ) j
4) Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormal Remplacer les valeurs des coordonnées du vecteur u = AB dans l'une des expressions littérales ci-dessous, puis calculer la norme du vecteur u : u = x ² + y ² = ( xB − x A )² + ( yB − y A )² II) Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan Le produit scalaire des vecteurs u et v du plan est le nombre réel noté u ⋅ v . 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs Il faut utiliser l'une des expressions suivantes. - Expression du produit scalaire en fonction des normes des vecteurs : Pour deux vecteurs u et v , le produit scalaire u ⋅ v est le nombre:
2 2 2 1 u+v − u − v     2

Cours sur le calcul vectoriel

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- Expression analytique du produit scalaire : Pour deux vecteurs u et v , de coordonnées (x; y) et (x’; y’) dans un repère orthonormal, le produit scalaire u ⋅ v est le nombre : x × x '+ y × y ' - Expression géométrique du produit scalaire : Pour deux vecteurs u et v , formant un angle u ; v , le produit scalaire u ⋅ v est le nombre : u × v × cos u ; v
Notation : u ⋅ v se lit « vecteur u scalaire vecteur v ». Remarques : - si u ⋅ v > 0 alors l'angle u ; v est aigu

(

(

)

)

( ) - si u ⋅ v < 0