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Bac Pro indus

CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE
I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesurede la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction géométrique
u+v u −v

u

u

v

v

3) Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Réaliser un calcul ; les coordonnées de AB sont (x ; y) d'où AB = xi + y j ou

AB = ( xB − x A ) i + ( yB − y A ) j
4) Calculer la norme d'un vecteur dans un repèreorthonormal Remplacer les valeurs des coordonnées du vecteur u = AB dans l'une des expressions littérales ci-dessous, puis calculer la norme du vecteur u : u = x ² + y ² = ( xB − x A )² + ( yB − y A )² II) Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan Le produit scalaire des vecteurs u et v du plan est le nombre réel noté u ⋅ v . 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs Il faut utiliser l'unedes expressions suivantes. - Expression du produit scalaire en fonction des normes des vecteurs : Pour deux vecteurs u et v , le produit scalaire u ⋅ v est le nombre:
2 2 2 1 u+v − u − v     2

Cours sur le calcul vectoriel

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- Expression analytique du produit scalaire : Pour deux vecteurs u et v , de coordonnées (x; y) et (x’; y’) dansun repère orthonormal, le produit scalaire u ⋅ v est le nombre : x × x '+ y × y ' - Expression géométrique du produit scalaire : Pour deux vecteurs u et v , formant un angle u ; v , le produit scalaire u ⋅ v est le nombre : u × v × cos u ; v
Notation : u ⋅ v se lit « vecteur u scalaire vecteur v ». Remarques : - si u ⋅ v > 0 alors l'angle u ; v est aigu

(

(

)

)

( ) - si u ⋅ v < 0alors l'angle ( u ; v ) est obtu
2 2

Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme : u ⋅ u = u = u .
2) Propriétés du produit scalaire

Pour tous vecteurs u , v et w et pour tout nombre α réel : α u ⋅v = αu ⋅v ; u ⋅ v + w = u ⋅v + u ⋅ w

( )

(

)

3) Montrer que deux vecteurs u et v non nuls sont orthogonaux

Si le produit scalaire u ⋅ v = 0 alors les vecteurs u et vsont orthogonaux. ( u ⊥ v ).
III) Application du produit scalaire Certaines questions de problèmes se résolvent à partir du calcul du produit scalaire de deux vecteurs du plan. 1) Calculer la mesure θ de l'angle u ; v

(

)

Pour deux vecteurs non nuls u (x, y) et v (x’, y’) : - Calculer le produit scalaire u ⋅ v = xx '+ yy ' - Calculer le cosinus de l'angle θ en utilisant la relationsuivante
cos θ =

u ⋅v
u × v

=

xx '+ yy ' x ² + y ² ⋅ x ' ² + y '²

- Calculer la mesure de l'angle θ en utilisant les touches INV et COS

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2) Déterminer une équation d'un cercle de centre A et de rayon R donné - Déterminer l'ensemble des points M(x, y) tel que: AM
2

= R² .

Si A a pour coordonnées(a, b), alors AM a pour coordonnées (x – a, y –- b), d'où une équation 2 2 du cercle : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2
3) Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à une droite (AB) au point A - Déterminer l'ensemble des points M(x, y) tels que : AB ⋅ AM = 0 . Exemple : On considère les points A(2 ; -6) et B(0 ; 2).

On cherche à déterminer une équation cartésienne de la droiteperpendiculaire à la droite (AB) au point A. Pour cela, on détermine l'ensemble des points M(x, y) tels que:
AB ⋅ AM = 0 avec AB (-2 ; 8) et AM (x – 2 ; y + 6), d'où : - 2(x – 2) + 8(y + 6) = 0

c'est-à-dire : - x + 4y + 26 = 0.
IV) Vecteurs dans l’espace (dimension 3) L’utilisation des vecteurs dans l'espace facilite les travaux sur certaines grandeurs. 1) Coordonnées d'un point dans...
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