Rappels sur les intervalles de confianceQuelques rappels sur les intervalles de confiance
I/ Généralités
Soient : X une variable aléatoire de loi paramétrée par θ et X 1 ,...,X n n variables i.i.d selon la loi de X. 1) Principe d’un intervalle de confiance Plutôt que d’estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre θ , on recherche un intervalle recouvrant «très vraisemblablement » cette vraie valeur. Définition : On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1− α du paramètre θ tout intervalle IC tel que : P( IC ∋ θ ) = 1 − α pour α ∈[ 0,1] fixé. Les bornes de l’intervalle de confiance IC dépendent de l’échantillon, elles sont donc aléatoires. Par abus de langage, on note souvent P(θ ∈ IC ) = 1 − α . Remarquons que si α augmente (ou que si n augmente), l’amplitude de l’intervalle de confiance diminue.

2) Vocabulaire La probabilité α pour que l’intervalle de confiance ne contienne pas la vraie valeur peut être répartie différemment de part et d’autre des bornes de l’intervalle de confiance. Ecrivons donc α = α1 +α2 où α1 et α2 mesurent respectivement les risques à gauche et à droite de dépasser un seuil plancher ou plafond. • L’intervalle de confiance est dit bilatéral quand α 1 ≠ 0 et α 2 ≠ 0 . Si α 1 = α 2 = symétrique. Il est dissymétrique sinon. • L’intervalle de confiance est dit unilatéral si α 1α 2 = 0 : - quand on veut assurer une valeur minimale au paramètre à estimer, on considère α 1 = α et α 2 = 0 , l’intervalle de confiance est alors de la forme : IC = [ a ,+∞[ . - quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend α 1 = 0 et α 2 = α et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : IC = ] − ∞, b] . 3) Construction Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution de probabilité. Définition : une fonction pivotale pour le paramètre θ est une fonction des observations ( X 1,..., Xn) et du paramètre θ dont la loi ne dépend pas du