Université Paris 1 - L3 Mass
Modèles mathématiques en Finance - TD3
Exercice 1. Soit un décideur muni d'une relation strictement monotone et strictement averse au risque. On suppose aussi l'axiome d'indépendance vérifié. Pour tout réel x et α ≥ 0 on considère la loterie a(x , α) qui amène les conséquences x+α et x-α avec équiprobabilité. a/ Montrer que la relation de préférence est "strictement croissante en x " :
∀ x , y ∈ R , ∀ α ≥ 0 , y > x ⇒ a(y , α) > a(x , α) b/ Montrer que la relation de préférence est "strictement décroissante en α " :
∀ x ∈ R , ∀ α , β ≥ 0 , β > α ⇒ a(x , β) < a(x , α)
Exercice 2. Soit un décideur muni de la fonction d'utilité de VNM u(x) = Log(x) . Le décideur dispose d'une richesse W et est soumis à un risque de perte de D avec probabilité π . Le décideur peut s'assurer partiellement ou totalement contre le risque de perte au prix unitaire de q (i.e. y contrats achetés coûtent qy et rapportent y en cas de sinistre). On suppose naturellement D < W et q < 1 .
a) Quelles sont les différentes loteries qui s'offrent à l'investisseur ?
b) Calculer le niveau d'assurance optimal y* en fonction des paramètres (on supposera la solution intérieure). c) Montrer que si q = π , alors le décideur s'assure complètement. Ce résultat était-il prévisible ?
d) Montrer que y* est une fonction décroissante de q .
e) Calculer la valeur critique du prix à partir de laquelle le décideur cesse de s'assurer.
Exercice 3. Il y a deux actifs financiers : une obligation de rendement égal à 1 et un actif risqué qui offre les rendements 0 ou 3 avec égale probabilité. Un agent muni de la fonction d'utilité de VNM ua(x) = x1-a/1-a , avec a > 0 , doit investir une richesse totale égale à W > 0 . L'agent doit décider du montant de richesse θ qu'il va placer en actif risqué, 0 ≤ θ ≤ W .
a) Montrer que l'agent est strictement averse au risque et calculer son indice absolu d'aversion pour le risque. b) Décrire le problème de décision de l'agent.
c) Calculer le portefeuille