Terminale

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 14 (3323 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 13 octobre 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
Proposition et prédicat :

La logique permet de modéliser et d’étudier le raisonnement mathématique

1°) Assertion ou énoncé :

Les phrases du langage courant sont de plusieurs types : déclaratif, exclamatif… En maths l’intérêt est porté sur les phrases déclaratives que l’on nomme énoncé ou assertion.

2°) Proposition :

Proposition : énoncé auquel on attribue une valeur devérité soit vraie (1) soit fausse (0)
Attention, un énoncé n’est pas forcément une proposition.

3°) Prédicat :

En maths, on travaille souvent avec des variables.
Définir une variable x signifie que l’on définit automatiquement l’ensemble dans lequel elle varie, soit E.
X X E
Un prédicat est un énoncé qui peut contenir plusieurs variables et qui devient une proposition chaque foisque les variables sont fixées dans leurs ensembles respectifs
Exemples : X Є E, X>10 est un prédicat
X est impair, n’est pas un prédicat car x n’est pas définit

Opérations sur les propositions et les prédicats :

Propositions p, q,…appelées variables propositionnelles à partir desquelles on peut construire des propositions plus complexes.

1°) La conjonction ^ (et) :s’écrit à l’aide du connecteur logique ^ , elle permet de former la proposition p^q. La valeur de vérité de la proposition p^q dépend de la valeur de vérité de p et de celle de q.
On résume ceci dans la table de vérité :
|p |q |p^q |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |0 |Remarque : On fait toutes les tables dans le même ordre.
P^q est vrai si et seulement si les deux propositions sont vraie en même temps
Le connecteur ^est un binaire

2°) la disjonction v (ou) :

p v q : « ou » logique Table de vérité :
|p |q |P v q |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|0 |1|1 |
|0 |0 |0 |

p v q est vraie si au moins une des propositions est vraie.
Le connecteur v se différencie de celui du langage courant (ou exclusif) car lui-même est non exclusif.
Le connecteur v est binaire.

3°) La disjonction exclusive ¤ (noté + entouré) :

Elle correspond à la proposition composée (p^/q) v ( /p^q)
p¤q est vraie si et seulement siune et une seule des propositions p et q est vraie. On retrouve ainsi le sens du langage courant :
|p |q |p¤q |
|1 |1 |0 |
|1 |0 |1 |
|0 |1 |1 |
|0 |0 |0 |

4°) La négation :

C’est une opération unitaire connecteur logique / (de préférence une barre verticale sur la proposition)A partir de p, on note non p: /p
|p |/p |
|1 |0 |
|0 |1 |

5°) L’implication logique :

permet de créer p => q
p => q est faux quand p est vrai et que q est faux
Lorsque p => q est vraie on dit que p est une condition suffisante de q et que q est une condition nécessaire de p.

6°) Equivalence :

permet de former p(q
|p|p |p(q |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |1 |

p(q est vraie lorsque p et q sont toutes les deux vraie ou toutes les deux fausses.
Remarque : Toutes les opérations définies sur les propositions s’appliquent aux prédicats sachant qu’un prédicat devient uneproposition lorsque les variables sont fixées.

Autres exemples (exercices)
S : (p^q)v r ([(pvr)^(qvr)]

|p |q |R |(p^q)v r |pvr |qvr |(pvr)^(qvr) |( |
|1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |
|1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |1...
tracking img