Lycée JANSON DE SAILLY
23 novembre 2012

EXERCICE

CONTRÔLE N

O

Tle ES
Durée 2 heures

3

( 1,5 points )

1

En 2011, le prix moyen d’un lingot d’or d’un kg est de 36 479 C, contre 15 278 C en 2006.
Calculer le pourcentage annuel moyen d’évolution du prix du lingot d’or entre 2006 et 2011.
EXERCICE

( 1,5 points )

2

On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions f , g et h définies sur R.
Cf

-3

-2

-1

y

y

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

1

2

3

x

-3

-2

-1

0

y

Cg

1

2

x

-3

-2

-1

0

Ch

1

2

x

1. Une seule de ces trois fonctions est une fonction exponentielle de base q. Laquelle est-ce ?
2. Quelle est la valeur du réel q ?
EXERCICE

( 2 points )

3

Simplifier les expressions suivantes : e3x−2 1
A = (2x )2 + −2x ; B = (1 + 0,3x )2 − (1 − 0,3x )2 ; C = 3−2x × e5,5−5x ; D = (1 + ex ) (1 − e−x ) + (1 − ex ) e−x .
2
e
EXERCICE

( 2,5 points )

4

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 5x + 0,2x .
1. Calculer f (0).
2. Calculer f (−1) et f (1).
3. Montrer que pour tout réel x, f (−x) = f (x)
EXERCICE

( 4 points )

5

1. Résoudre dans R les équations suivantes :
a)

1 e2x+1 = e.

b) (x − 1) (ex − 1) = 0
2. Résoudre dans R les inéquations suivantes :
2

1
a) (ex )2 × ex x e −1
0.
b) x e +1

A. YALLOUZ

-1-

MATH@ES

Lycée JANSON DE SAILLY
23 novembre 2012

EXERCICE

CONTRÔLE N

Tle ES
Durée 2 heures

3

O

( 4 points )

6

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f (x) = ex +

1
.
ex

1. On note f ′ la dérivée de la fonction f .
a) Calculer f ′ (x).
b) Donner le tableau de variations de f .
c) En déduire que pour tout réel x, ex + e−x

2.

2. On note f ′′ la dérivée seconde de la fonction f .
a) Montrer que pour tout réel x, f ′′ (x) = f (x).
b) Étudier la convexité de la fonction f .
EXERCICE

( 4,5 points )

7

5
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − x + 1 ex .
2
Sa courbe représentative notée C f est donnée ci-dessous. y Cf

4
3
2
1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

-1
-2
-3