Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
Licence de Biologie, 3

e

semestre

2007-08

Compléments de Mathématiques

S. Vinatier

10. Tests non paramétriques

La quasi totalité des tests que l'on a utilisés jusqu'à présent supposent que la loi de la variable aléatoire X étudiée est normale dans les populations considérées (hormis pour la conformité ou la comparaison de moyennes sur de grands échantillons). Cette condition n'étant pas toujours satisfaite, on étudie maintenant des tests qui sont valables même quand la loi de X n'est pas normale. Ce sont des tests de comparaison de moyennes. Lorsque les échantillons peuvent être considérés indépendants, on applique le test de Mann et Whitney pour 2 échantillons, celui de Kruskal et Wallis pour un nombre quelconque d'échantillons. Lorsque on a aaire à deux échantillons appariés (c'est-à-dire non indépendants), on applique le test de Wilcoxon.
Tous ces tests sont dits non paramétriques car ils ne nécessitent pas d'estimation de la moyenne et de la variance. En fait, ils n'utilisent même pas les valeurs xi recueillies dans les échantillons, mais seulement leur rang dans la liste ordonnée de toutes les valeurs.

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Test de Mann et Whitney

On dispose des mesures des valeurs de X dans deux échantillons indépendants E1 et E2 , de tailles respectives n1 et n2 . On souhaite comparer les deux moyennes expérimentales, c'est-à-dire tester l'hypothèse nulle (H0 ) :  µ1 = µ2 .
On commence par trier les valeurs obtenues dans la réunion des deux échantillons par ordre croissant. Pour chaque valeur xi issue de E1 , on compte le nombre de valeurs issues de E2 situées
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après lui dans la liste ordonnée (celles qui sont égales à xi ne comptent que pour 2 ). On note u1 la somme des nombres ainsi associés aux diérentes valeurs issues de E1 . On fait de même en échangeant les rôles des deux échantillons, ce qui donne la somme u2 . Soit u la plus petite des deux sommes obtenues : u = min{u1