Théorème de Thalès et sa réciproque
Rappel : signification de « réciproque » « Si un bâtiment a un clocher alors ce bâtiment est une église » la réciproque est vraie « Si un bâtiment est une église alors ce bâtiment a un clocher ». En mathématiques, la réciproque de certaines propriétés est vraie : Ex : « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu » et sa réciproque « Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme ».

I) Théorème de Thalès propriété : Soient deux droites d et d’ sécantes en un point A. Soient B et M deux points de d (distincts de A) Soient C et N deux points de d’ (distincts de A) Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors d’ d M A M B N C
(BC) // (MN) (BC) // (MN)

AM AN MN = = AB AC BC d’

B

A d

C N

d’ B N A d
(BC) // (MN)

C

M

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II) Réciproque du théorème de Thalès propriété : Soient deux droites d et d’ sécantes en un point A. Soient B et M deux points de d (distincts de A) Soient C et N deux points de d’ (distincts de A) Si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles AM AN = alors AB AC

AB 6 AC 6,6 = = 1,2 et = = 1,2 AM 5 AN 5,5 donnée

A,M,B et A,N,C sont alignés dans le même ordre donnée

d’

d D’après la réciproque du théorème de Thalès

6cm 5cm M B

A 5,5cm N C 6,6cm (BC) // (MN) conclusion propriété

Ex : énoncé : Sur la figure ci-contre BG = 4,9 cm, BF = 3,5 cm BD = 5,6 cm, BR = 4cm Démontrez que (RF)//(DG)
B

G F R D

Démontrons que (RF) // (DG) : Je sais que B,F,G et B,R,D sont alignés dans le même ordre BD 5,6 = = 1,4 et BR 4 BG 4,9 = = 1,4 BF 3,5

De plus,

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, (FR) // (GD)

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Remarque : La propriété que nous avons vue en 4ème « Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un