Theori des jeux

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Université Louis Pasteur Licence Mathématiques-Economie Année universitaire 2007-2008 Enseignante : Isabelle MARET Durée : 2h Documents autorisés : Néant Calculatrices non autorisées Session de janvier 2008

Correction de l’examen de Micro-économie Approfondie: Introduction à la Théorie des Jeux et Applications à l’Organisation Industrielle
Exercice 1 : 1. (7 points) Pour un niveau donné q0 dela production initiale de la firme installée, déterminons l’équilibre de Cournot-Nash du jeu de seconde période. Déterminons les fonctions de réaction des deux joueurs. Face à la stratégie q2 de sa concurrente, l’entreprise 1 résout le problème suivant max (1 − q1 − q2 − c) q1
0≤q1

Ce problème d’optimisation sous contrainte d’inégalité se résout à l’aide de la méthode de Kuhn-Tucker. Lelagrangien de ce problème de décision s’écrit : L (q1 , µ1 , µ2 ) = (1 − (q1 + q2 ) − c) q1 + µq1 , où µ est le paramètre de Kuhn-Tucker associé à la contrainte de positivité.
∗ La méthode de Kuhn-Tucker établit que pour toute solution q1 il existe ∗ un paramètres µ ≥ 0 tel que les conditions d’optimisation de premier ordre suivantes soient remplies : ∂L ∂q1 ∗ ∗ (q1 , µ∗ ) = 1 − 2q1 − q2 − c = −µ∗ ∗ ∗µ q1 = 0

∗ Pour une solution telle que q1 = 0, on aura donc nécessairement

1 − q2 − c = −µ∗ ≤ 0 ⇔ 1

∂π1 ∗ (0, q2 ) ≤ 0. q1

Ceci signifie que si l’entreprise 1 ne produit c’est que le profit marginal d’un accroissement de sa production est nul (lorsque qu’elle ne produit pas). Ce cas de figure se présente lorsque q2 ≥ 1 − c.
∗ Pour une solution telle que 0 < q1 , on aura doncnécessairement

1− D’où

∗ 2q1

µ∗ = 0 . − q2 − c = 0

1 − c − q2 . 2 Or, la fonction objectif est concave par rapport à la variable de décision et les fonctions qui définissent les contraintes sont convexes en q1 , par conséquent, les conditions nécessaires d’optimisation de premier ordre de Kuhn-Tucker sont suffisantes pour caractériser une solution. Nous pouvons en déduire que la fonction de meilleureréponse de l’entreprise 1 s’écrit 0 si q2 ≥ 1 − c R1 (q2 ) = 1−c−q2 si q2 ≤ 1 − c. (1) 2
∗ q1 =

En suivant un raisonnement analogue, on démontre que la fonction de meilleure réponse de l’entreprise 1 s’écrit R2 (q1 ) =
1 4

0 si q1 ≥ 1 2 . − si q1 ≤ 1 (2) 2
1 2 q1

L’équilibre de Cournot-Nash est alors défini par
∗ ∗ q1 = R1 (q2 ) . ∗ ∗ q2 = R2 (q1 )

Remarquons que par hypothèse 1 41−c et 2 < 1−c⇔c< ≤ 1 . 2 3 1 1 car c = − 3q0 ≤ 4 2 2

Par conséquent, les courbes de réaction des deux firmes se coupent nécessairement en un point du plan (q1 , q2 ) sur les portions (1) et (2) des courbes.

2

∗ ∗ L’équilibre de Cournot-Nash (q1 , q2 ) est solution du système d’équations

∗ 2 q1 = 2 1 1 ∗ q2 = 4 − 2 q1

1−c−q∗

⇔ ⇔

∗ ∗ 2q1 + q2 − (1 − c) = 0 1 ∗ 1 ∗ 2 q1 + q2 − 4 =0 ∗ q1 = 1 − 2 c 2 3 . c ∗ q2 = 3

2. (6 points) Déterminons le(s) EPSJ de ce jeu séquentiel. Pour cela nous appliquons le principe de rétroduction. Il s’agit tout d’abord, pour un niveau donné de l’investissement de première période, de déterminer (cf question 1) l’équilibre de Cournot-Nash du sous-jeu de la concurrence en quantités de seconde période. Puis de déterminer l’équilibre de Nash dujeu réduit de première période où les quantités produites par les deux firmes ont été remplacées par leur expression à l’équilibre de Nash du sous-jeu de seconde période. Il nous reste à déterminer la stratégie optimale de la firme installée en première période. Déterminons le profit des deux firmes compte tenu de l’équilibre de CournotNash du sous-jeu de la concurrence en quantités de secondepériode.
∗ ∗ Π1 (q1 (q0 ) , q2 (q0 )) = 1 − 2 c (q0 ) − 1 q0 = Π1 (q0 ) 2 3 2 . 2 0 ∗ ∗ Π2 (q1 (q0 ) , q2 (q0 )) = c(q9 ) = Π2 (q0 ) 2

Si l’objectif de la firme installée en première période est d’évincer sa concurrente du marché, elle choisit q0 de sorte que c (q0 )2 = Π2 (q0 ) ≤ 0 9 2 1 − 3q0 ⇔ 2 ≤ 0. 9 Or, cette inégalité est satisfaite pour q0 = 1 et q0 ∈ 0, 1 , la firme installée 6 6 ∗ peut...
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