Theorie financiere

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  • Publié le : 25 août 2011
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TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE FINANCIERE
Résolution des cas
Cas n° 22

Concept de portefeuille efficient, de frontière efficiente et de volatilité d’un titre
Un portefeuille peut être composé d’un seul titre ou de plusieurs titres risqués. Il peut contenir uniquement un seul type d’actifs (portefeuille homogène) ou une combinaison de différentes sortes d’actifs (actions et obligations parexemple (portefeuille non homogène).
Parmi plusieurs portefeuilles présentant un même niveau de rendement, l’investisseur retiendra celui dont le risque est le plus faible; et parmi plusieurs portefeuilles présentant un même niveau de risque, il retiendra celui dont l’espérance de rendement est la plus élevée. Ces portefeuilles qui, pour un niveau de risque donné laissent espérer la rentabilitéla plus élevée, sont appelés portefeuilles efficients.
Si nous considérons un certain nombre de portefeuilles qu’il est possible de constituer à partir des actions cotées sur un marché, nous disposerons pour chacun d’eux d’une espérance de rendement et d’un risque. En combinant ces actions dans différentes proportions, on élargit le choix des combinaisons rendement-risque attendu.
Enpositionnant ces différents points sur un graphique, nous pouvons comparer les portefeuilles qui présentent un bon rendement espéré et un bon niveau de risque. Les points représentant les portefeuilles efficients peuvent alors apparaître sur un arc. Cet arc constitue la frontière efficiente.
Pour limiter le risque de son portefeuille, l’investisseur procèdera à sa diversification. Il choisira alors lesactifs détenus pour à la fois atteindre les objectifs de rendement et limiter le risque.
La volatilité d’un titre par rapport au marché est un outil de mesure du risque qui décrit la sensibilité du titre par rapport aux variations du marché. Il est représenté par le « coefficient bêta »

Déterminons la rentabilité équipondérée des titres X, Y et Z
Soient E (R_X), E (R_(Y )) et E (R_Z)l’espérance de rendement des trois titres équipondérés X, Y et Z contenus dans le portefeuille p
E (Rp) = 〖33〗^(1/3) %E (R_X) + 〖33〗^(1/3) %E (R_(Y )) 〖 33〗^(1/3) %E (R_Z)
D’après la théorie du MEDAF si nous désignons par
R_(f ) le taux de rentabilité de l’actif sans risque
β_X la sensibilité du titre x par rapport aux variations du marché
R_(M )le rendement du marché
σ(X ) le risquedu titre X

on a:

E (R_X) = R_(f ) + β_X (R_(M - ) R_(f ))
On sait que β_X= (Cov ( X,M))/(σ^2 M)
Par définition ∁ov (X,M) = φ(X,M) x σ(X ) x σ(M)
Avec σ(X ) le risque du titre X , φ(X,M) le coefficient de corrélation du titre X avec le marché et σ(M) l’écart- type du marché
∁ov (X,M)= 0,8 x 0,05 x 0,04 = 0,0016
On a donc β_X= 0,0016/〖 (0,04)〗^2
β_X= 1

Il s’en suit E (R_X)= R_(f ) + β_X (R_(M - ) R_(f )) = 0,06 + 1( 0,11 – 0,06)
→ E (R_X) = 0,11

E (R_Y) = R_(f ) + β_Y (R_(M - ) R_(f ))
On sait que β_Y= (Cov ( Y,M))/(σ^2 M)
Par définition ∁ov (Y,M) = φ(Y,M) x σ(Y ) x σ(M)
Avec σ(Y ) le risque du titre Y , φ(Y,M) le coefficient de corrélation du titre Y avec le marché et σ(M) l’écart- type du marché
∁ov (Y,M)= 0,6 x 0,09 x 0,04 = 0,0022
On a doncβ_Y= 0,0022/〖 (0,04)〗^2
β_Y= 1,35

Il s’en suit E (R_Y) = R_(f ) + β_Y (R_(M - ) R_(f )) = 0,06 + 1,35( 0,11 – 0,06)
→ E (R_Y) = 0,1275

E (R_Z) = R_(f ) + β_Z (R_(M - ) R_(f ))
On sait que β_Z= (Cov ( Z,M))/(σ^2 M)
Par définition ∁ov (Z,M) = φ(Z,M) x σ(Z ) x σ(M)
Avec σ(Z ) le risque du titre Z , φ(Z,M) le coefficient de corrélation du titre Z avec le marché et σ(M) l’écart- type dumarché
∁ov (Z,M)= 0,5 x 0,1 x 0,04 = 0,002
On a donc β_Z= 0,002/〖 (0,04)〗^2
β_Y= 1,25

Il s’en suit E (R_Z) = R_(f ) + β_Z (R_(M - ) R_(f )) = 0,06 + 1,25( 0,11 – 0,06)
→ E (R_Z) = 0,1225

Par conséquent

E (Rp) = 〖33〗^(1/3)% E (R_X) + 〖33〗^(1/3)% E (R_(Y )) 〖 33〗^(1/3) % E (R_Z)
E (Rp) =0,3333 (0,11) + 0,3333(0,1275) + 0,3333(0,1225)
E (Rp) = 0,12 soit 12%


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