Introduction à la théorie des graphes

Eric Sigward
e.sigward@ac-nancy-metz.fr

Les sept ponts de Königsberg

Introduction
2
Définitions et premiers exemples
2
Graphes non orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Graphes orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Terminologie
7
Éléments de la théorie des graphes
9
Graphes eulériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Matrice d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Coloriage des sommets d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Graphes valués et problème du plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Graphes probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Graphes probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Les graphes en Terminale ES
34
Exercices
35
Solutions des exercices
38
Complément : les arbres
43
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Arbre de recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Arbre partiel