Théorie des jeux
Aller à : Navigation, rechercher Dans la théorie des jeux, l'équilibre de Nash, nommé d'après John Forbes Nash, est un concept de solution dans lequel l'ensemble des choix faits par plusieurs joueurs, connaissant leurs stratégies réciproques, est devenu stable du fait qu'aucun ne peut modifier seul sa stratégie sans affaiblir sa position personnelle.
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Origine de la notion
Un jeu est un cadre formel où plusieurs agents décident d'une stratégie, sachant que leur utilité dépend des choix de tous. Avant Nash, la détermination de situation stable n'avait pas de méthode formelle, même si l'existence d'équilibres pour les jeux à somme nulle et à deux joueurs était connue depuis 1926, via le théorème du minimax de von Neumann. Quoique la traduction courante d'un équilibre de Nash puisse paraître simpliste, les considérables possibilités qu'il a ouvertes lui ont mérité le « Prix Nobel » d'économie en 1994, qu'il a reçu conjointement à Reinhard Selten et John Harsanyi.
Cette définition s'applique à des jeux avec n'importe quel nombre de joueurs. Nash a démontré que tous les résultats trouvés avant lui conduisaient à des équilibres stables à son sens.
Théorème
Théorème de Nash — Soit un jeu discret où est le nombre de joueurs et est l'ensemble des possibilités pour le joueur , et soit l'extension de aux stratégies mixtes. Alors le jeu admet au moins un point d'équilibre.
Démonstration
On applique le théorème du point fixe de Brouwer ou le théorème du point fixe de Kakutani pour une fonction bien choisie (à développer).
Explication
Par exemple, le jeu pierre-papier-ciseaux n'admet pas d'équilibre avec des stratégies pures1 (si on choisit à toutes les parties « pierre » par exemple, l'autre personne augmentera son gain (la fonction ) en choisissant « feuille ». Mais alors le premier joueur choisira ensuite « ciseau », etc. On n'arrivera jamais à un équilibre). En revanche, si on étend ce jeu aux stratégies mixtes, il y a un point d'équilibre