Topologie

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  • Publié le : 10 décembre 2009
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Introduction ` la Topologie a

Licence de Math´matiques e Universit´ de Rennes 1 e
Francis Nier Drago¸ Iftimie s

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3 Introduction Ce cours s’adresse ` des ´tudiants de Licence en math´matiques. Il a pour a e e objectif de donner les bases en topologie indispensables ` toute formation en a math´matiques. Il ne s’agit pas d’un trait´ complet sur le sujet, qui n’est pas e e neuf. Denombreux livres parfois tr`s fournis (ceux donn´s dans la bibliographie e e par exemple) existent d´j`. Nous avons cherch´, compte tenu des contraintes de ea e volume horaire, d’acquis des ´tudiants en premier cycle et d’exigences pour la e suite du cursus, ` d´gager les points cl´s permettant de structurer le travail pera e e sonnel de l’´tudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Parexemple, e il nous a sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laiss´ de e cˆt´, en le signalant, la notion de filtre qui ` ceniveau introduirait plus de oe a confusion qu’autre chose mais qui apr`s coup ne pr´sentera pas de difficult´ e e e majeure pour l’´tudiant ayant assimil´ ce cours. De la mˆme fa¸on, nous avons e e e c ´vit´ les discussions autour de l’axiome du choix, nous limitant au niveau de e e la th´orie des ensembles aux op´rations ensemblistes rappel´es dans le premier e e e exercice. Ainsi le th´or`me deTychonoff est d´montr´ dans le cas m´trisable. e e e e e De mˆme, on ne parle pas du th´or`me de Hahn-Banach qui s’int´gre plus e e e e naturellement dans un cours d’Analyse Fonctionnelle, mais il y a un ou deux exercices sur la s´paration des convexes en dimension finie. e Nous avons inclus dans ce texte une liste d’exercices. Ceux-ci de difficult´ vari´e e e r´pondent ` une double n´cessit´. Il estimportant de jongler avec les diff´rents e a e e e concepts introduits en cours et mˆme de faire certaines erreurs une fois pour e bien identifier les pi`ges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements e vers d’autres domaines des math´matiques (alg`bre, analyse, g´om´trie), cela e e e e afin d’exhiber l’int´rˆt et l’omnipr´sence des arguments topologiques. ee e Les choses suppos´es connuescorrespondent au programme du premier cycle. e Elles interviennent dans les d´monstrations et dans les exemples qui donnent e corps aux nouvelles d´finitions. Il s’agit de e 1) Techniques ensemblistes : op´rations ensemblistes, relations, fonctions, noe tion de d´nombrabilit´. e e 2) Analyse ´l´mentaire sur la droite r´elle R : Le corps des r´els d´fini comme ee e e e corps archim´dien contenant Q etv´rifiant la propri´t´ de la borne e e ee sup´rieure, suites r´elles, intervalles, fonctions continues de R dans R, e e d´rivation. e 3) Alg`bre lin´aire et bilin´aire : Espaces vectoriels, bases, applications lin´aires, e e e e calcul matriciel, d´terminants, produit scalaire. e 4) Fonctions de plusieurs variables, d´riv´es partielles. e e 5) Convexit´ d’un ensemble, d’une fonction. e

4D’autres notions intervenant dans les exercices (fonctions holomorphes, diff´rentielle) e seront rappel´es, si besoin est, en Travaux Dirig´s. e e Conseils pratiques aux ´tudiants : Ce polycopi´ ne dispense pas d’assister e e aux amphis ni de prendre des notes compl´mentaires. Il est l` pour ´viter e a e un travail de copie qui empˆche parfois de se concentrer sur les explications e donn´es oralement. Cecours pr´sente au moins deux difficult´s : 1) Pour les e e e ´tudiants venant du DEUG, c’est la premi`re fois qu’ils sont s´rieusement e e e confront´s ` une d´marche axiomatique. Se convaincre de l’int´rˆt des notions e a e ee abstraites et identifier leur domaine de validit´ demande du travail. Une fa¸on e c de faire est de chercher ` r´soudre le maximum d’exercices par soi-mˆme. 2) Un a e e...
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