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Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée :
DÉFINITION

• Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim

h→0

f (a + h) − f (a) existe h

et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f (a). • Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que fest dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f , qui à tout a de I associe f (a), le nombre dérivé de f en a. Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (a + h) − f (a) (a + h)2 − a2 a2 + 2ah + h2 − a2 Pour tout a , lim = lim = lim = lim 2a + h = 2a. f est donc dérivable en a et h→0 h→0 h→0 h→0 h h h f (a) = 2a. On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivéeest définie par f (x) = 2x.

2 Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction f (x) = a Fonction dérivée f (x) = 0 pour tout x de R Exemples f (x) = 3 ⇒ f (x) = 0

f (x) = x ⇒ f (x) = 1 f (x) = ax + b f (x) = a R f (x) = 2x − 4 ⇒ f (x) = 2

f (x) = x2 ⇒ f (x) = 2x f (x) = xn (n entier 2) f (x) = nxn−1 R f (x) = x3 ⇒ f (x) = 3x2 1 x 1 x2

f (x) =

f (x) = −

R∗

f (x) = f (x) = 1 (nentier xn 2) f (x) = − n xn+1 R∗ f (x) =

2 1 ⇒ f (x) = − 3 x2 x 1 3 ⇒ f (x) = − 4 3 x x

f (x) =



x

1 f (x) = √ 2 x f (x) = cos x

]0; +∞[

f (x) = sin x

R

f (x) = cos x

f (x) = − sin x

R

1S - Dérivation

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3 Etude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :
Avertissement : Nous utiliserons par souci desimplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à dire que la dérivée de x2 est égale à 2x (alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui à x associe x2 est la fonction qui à x associe 2x). Il ne faut jamais oublier que l’on ne doit pas confondre une fonction f avec f (x) (l’image de x par f qui est un réel) et que la dérivée f est elle-même unefonction qui à tout x associe f (x) (le nombre dérivé de f en x, qui est un réel). Toujours par souci de simplification, nous ne nous préciserons pas dans les exemples les intervalles où les fonctions sont dérivables afin de nous concentrer sur l’utilisation des formules.

3-1 Forme f + g
PROPRIÉTÉ

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors la fonction f + g est aussidérivable sur I et ( f + g) = f + g . Exemples de fonctionnement de cette formule : 1) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = x2 + x est définie par : f (x) = 2x + 1
d´ riv´ e de x2 e e d´ riv´ e de x e e

2) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = x3 + 4x est définie par : 4 f (x) = 3x2 +
d´ riv´ e de x3 e e d´ riv´ e de 4x e e

3) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = f(x) = 1 √ 2 x
√ d´ riv´ e de x e e

+

(−1) x2
d´ riv´ e de e e

√ 1 x + est définie par : x

1 x

3-2 Forme k f (k réel)
PROPRIÉTÉ

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si k est un réel alors la fonction k f est aussi dérivable sur I et (k f ) = k f . Exemples de fonctionnement de cette formule : 1) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = 3x2 est définie par :f (x) = 3 × 2x = 6x
d´ riv´ e de x2 e e

2) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = −5x3 est définie par : f (x) = −5 × 3x2 = −15x2
d´ riv´ e de x3 e e

3) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = f (x) = 2 × (−1) x2
d´ riv´ e de e e

=− 1 x

2 x2

2 1 = 2 × est définie par : x x

3-3 Forme f g
PROPRIÉTÉ

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle Ialors la fonction f g est aussi dérivable sur I et ( f g) = f g + f g .

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1S - Dérivation

Exemples de fonctionnement de cette formule : √ 1) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = x x est définie par : √ 1 √ f (x) = 1 × x+x× 2 x
d´ riv´ e de x e e

√ 2) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = x2 (3 + x) est définie par : √ 1 √ f (x) =...
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