I-Objectif :
Le but de cette manipulation est la détermination de l’influence des matrices Q et R sur la stabilité du système en utilisant les outils Matlab.
II-Simulation du système :
Le système sur lequel portera notre étude possède la fonction de transfert suivante :
H(p)= 2/(0.15p2+p ) = 2/p(0.15p+1)
La réponse indicielle de ce système est représentée sur la figure suivante :

On remarque que la réponse indicielle de ce système diverge ce qui montre que le système étudié est instable d’après le principe de EBSB (entrée bornée sortie bornée )qui stipule que la sortie d’un système stable doit être convergente si on injecte une entrée bornée (échelon par exemple) .
Ce résultat se confirme par la présence d’un pole nul dans la fonction de transfert .
Afin de déterminer la fonction de transfert discrète du système , on utilise la commande Matlab « c2d » :
Hd=c2d(H,1) // discrétisation avec une période d’échantillonnage de 1s
La réponse indicielle du système discret est alors :

Pareil pour le système discret , la réponse indicielle est divergente ce qui explique toujours l’instabilité du système .

Afin de mettre notre système sous la forme de X = A.X+BU Y= C.X+DU On fait recours à la commande Matlab « tf2ss » (détails en annexe)
Les matrices obtenues sont les suivantes :
A=-6.666701.00000 ; B=10 ; C=( 0 13.3333) ; D=0

III-Commande du système :

1- Variation de Q :

La commande du système se fait à l’aide de la minimisation du critère cout Suivant :

J= 0∞[10-6 x12+ x22 + ρ u2 ] dt avec ρ=0.001

Sachant que la solution de ce problème est : u= - K x
Avec : * K est le gain de retour d’état constant définit par : K = -R -1 BT S **S est une matrice solution de l’équation différentielle matricielle algébrique de RICCATI:

S + S.A+ AT.S - S.B.R-1.BT.S+Q=0
Etant donné que:
J= 0∞[10-6 x12+ x22 + ρ u2 ] dt =0∞[xT Q x + uT R u ] dt