TP multidisciplinaire
Vecteurs gaussiens et ACP
Vecteurs gaussiens
Question 1
Il faut que Σ soit définie positive, donc ac-b2>0 et a>0. Donc c>0.
Question 2
On pose R=Σ12(possible vu les hypothèses sur a, b, c)
On simule Y vecteur gaussien centré réduit de dimension 2.
On obtient alors une simulation de X par la formule :
X=RY+m
Question 3 mahalanobis<-function(m1,m2,a,b,c,n){ Y<-matrix(rnorm(2*n,0,1),nrow=2) m<-c(m1,m2) sigma<-matrix(c(a,b,b,c),2,2)
R<-chol(sigma)
X<-R%*%Y+matrix(m,ncol=n,nrow=2) return(X) }
Question 4 * a définit la dispersion des valeurs sur l’axe des abscisses. Plus on augmente sa valeur, plus elles sont dispersées.
Les points verts sont obtenus pour a=2, les rouges pour a=5 et les noirs pour a=15. * c a le même effet sur l’axe des ordonnées. * b détermine la corrélation entre les deux directions. Pour une corrélation positive, on observe les points verts (orientés par la première bissectrice). Pour une corrélation négative, on observe les points noirs. Enfin pour une corrélation nulle, on obtient les points rouges et on retrouve un bruit blanc gaussien.

Le nombre de réalisations détermine le nombre de points présents sur le graphiques, des valeurs trop petites ne permettent pas d’observer une allure générale, des valeurs trop grandes rendent le graphique illisible.
Question 5
On effectue la suite du TP sur les données contenues dans le fichier nuage3d.R.
Question 6
Les vecteurs propres de Σ vont déterminer les 3 axes de l’ellipsoïde représentant les données. Le vecteur propre associé à la valeur propre la plus grande sera celui qui oriente le grand axe. En effet, c’est selon celui-ci que la dispersion des valeurs est la plus grande.
ACP
La matrice de covariance empirique donnée pour une réalisation de X est :
0.99077570.651653120.328915300.65165310.743473380.096394940.328915300.096394940.33430483
Voici la représentation graphique comprenant les réalisations (en noir), les