Tp multidisciplinaire vecteur gaussien et acp

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  • Publié le : 11 avril 2011
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TP multidisciplinaire
Vecteurs gaussiens et ACP
Vecteurs gaussiens
Question 1
Il faut que Σ soit définie positive, donc ac-b2>0 et a>0. Donc c>0.
Question 2
On pose R=Σ12(possible vules hypothèses sur a, b, c)
On simule Y vecteur gaussien centré réduit de dimension 2.
On obtient alors une simulation de X par la formule :
X=RY+m
Question 3mahalanobis<-function(m1,m2,a,b,c,n){
Y<-matrix(rnorm(2*n,0,1),nrow=2)
m<-c(m1,m2)
sigma<-matrix(c(a,b,b,c),2,2)
R<-chol(sigma)
X<-R%*%Y+matrix(m,ncol=n,nrow=2)
return(X)
}
Question 4
* a définit ladispersion des valeurs sur l’axe des abscisses. Plus on augmente sa valeur, plus elles sont dispersées.
Les points verts sont obtenus pour a=2, les rouges pour a=5 et les noirs pour a=15.
* c a le mêmeeffet sur l’axe des ordonnées.
* b détermine la corrélation entre les deux directions. Pour une corrélation positive, on observe les points verts (orientés par la première bissectrice). Pour unecorrélation négative, on observe les points noirs. Enfin pour une corrélation nulle, on obtient les points rouges et on retrouve un bruit blanc gaussien.

Le nombre de réalisations détermine lenombre de points présents sur le graphiques, des valeurs trop petites ne permettent pas d’observer une allure générale, des valeurs trop grandes rendent le graphique illisible.
Question 5
On effectue lasuite du TP sur les données contenues dans le fichier nuage3d.R.
Question 6
Les vecteurs propres de Σ vont déterminer les 3 axes de l’ellipsoïde représentant les données. Le vecteur propre associé àla valeur propre la plus grande sera celui qui oriente le grand axe. En effet, c’est selon celui-ci que la dispersion des valeurs est la plus grande.
ACP
La matrice de covariance empirique donnéepour une réalisation de X est :
0.99077570.651653120.328915300.65165310.743473380.096394940.328915300.096394940.33430483
Voici la représentation graphique comprenant les réalisations (en noir), les...
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