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  • Publié le : 6 juin 2011
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LES NOMBRES COMPLEXES
PLAN I : Généralités 1) Historique 2) Définition 3) Conjugaison 4) Module et inégalité triangulaire 5) Argument a) Définition b) Forme trigonométrique c) Exponentielle complexe d) Formule d'Euler e) Groupes II : Utilisation descomplexes 1) Formule de Moivre 2) Linéarisation 3) Réduction de acosθ + bsinθ 4) Racines d'un complexe a) racine carrée, méthode algébrique b) racine nème : méthode trigonométrique c) racines nème de l'unité 5) Interprétation géométrique I : Généralités 1– Historique Les nombres complexes, tels que nous les utilisons aujourd'hui, datent du XIXème siècle. Ils étaient cependant connus et utilisésdepuis plusieurs siècles sous le nom de nombres imaginaires (terme qui est resté dans l'expression "partie imaginaire"). Ils sont apparus lorsque l'on a essayé de résoudre les équations du 3ème degré. Le premier à avoir résolu des équations du 3ème degré du type x3 + px = q ( p > 0, q > 0) semble être Scipione Del Ferro (1465 – 1526), professeur à l'université de Bologne. Il ne publia pas sa découvertemais la transmit à son élève Antonio Maria Fior. En 1531, Tartaglia (1500 – 1557), soit à la lumière d'une indiscrétion, soit par sa propre invention, apprit également à résoudre les équations du 3ème degré. Croyant à une imposture, Fior lança un défi public à Tartaglia. A la fin du temps imparti, Tartaglia avait résolu toutes les équations de Fior, alors que celui–ci n'avait résolu qu'une seuleéquation de Tartaglia. La supériorité de Tartaglia provient du fait que ce dernier savait résoudre les équations du type x3 + px2 = q, chose que Fior ne savait pas faire. En 1539, Tartaglia accepta de dévoiler son secret à Cardan (1501 – 1576) qui le publia peu après, malgré la colère de Tartaglia. Un élève de Cardan, Ludovico Ferrari (1522 – 1565), parvint à résoudre les équations du 4ème degré.Signalons qu'on ne peut résoudre n'importe quelle équation -1-

algébrique par radicaux. C'est impossible pour la plupart des équations du 5ème degré, par exemple x5 + x – a = 0, avec a = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 ... Voici comment procède Cardan. Considérant l'identité : (a + b)3 = 3ab(a + b) + a3 + b3 Cardan explique en 1545 comment résoudre les équations du type : x3 = px + q p en posant ab =et a3 + b3 = q. Ayant trouvé a et b, une solution est donnée alors par a + b. 3 Exemple 1 : Résoudre x3 = 18x + 35. 3 3 3  ab = 6  a b = 6 = 216  3  a + b3 = 35 ⇔ a3 + b3 = 35 3 3 Donc a et b sont racines de l'équation X2 – 35X + 216 = 0, à savoir 8 et 27. Donc a = 2 et b = 3. Une solution de l'équation initiale est donc 5. Les autres solutions sont trouvées en factorisant : x3 – 18x – 35 = (x– 5)(x2 + 5x + 7) etc... (Les équations du second degré à discriminant négatif sont considérées comme n'ayant pas de solution à l'époque). Exemple 2 : Résoudre x3 = 15x + 4 3 3 3  ab = 5  a b = 5 = 125  3  3 a + b3 = 4 ⇔ a + b3 = 4 3 Donc a et b3 sont racines de l'équation X2 – 4X + 125 = 0. Cette équation admet un discriminant négatif. Elle est donc réputée ne pas avoir de solution. Est–ce àdire que l'équation initiale n'admet pas non plus de solution ? Si. Toute équation du troisième degré admet au moins une solution (pourquoi ?). Ici, 4 est racine évidente. Bombelli (1526–1573) eut l'idée de penser que les parties "impossibles" ou imaginaires devaient s'éliminer pour redonner la racine réelle. Il écrivit donc : a3 = 2 + –121 = 2 + 11 –1 ⇒ a = b3 = 2 – –121 = 2 – 11 –1 ⇒ b = et...
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