LES FRACTALES

FRÉDÉRIC VIVIEN LYCÉE PIERRE CORNEILLE

Une structure fractale est une structure géométrique qui se répète, semblable à elle-même, quelle que soit l'échelle à laquelle on l'observe ; on parle alors de similitude interne.
Les ensembles fractals jouent un rôle central dans de très diverses théories scientifiques. Il s'agit, par exemple, de la forme des nuages ou des pépites d'or, de celle des côtes maritimes ou des hautes montagnes, de la répartition des galaxies dans l'espace ou encore de la turbulence ou du chaos. La musique, elle aussi, se trouve avoir des facettes fractales.

L'histoire des fractales ainsi que le nom fractale commence en 1975 avec Benoît Mandelbrot à partir de son essai Les Objets Fractals : forme, hasard et dimension (dont il est donné en [4] une autre édition) mais les premières figures fractales connues datent de la fin du XIXème siècle. La première est dû à Karl Weierstrass qui l'inventa en 1872 pour montrer, par une construction explicite, qu'une fonction continue n'a pas nécessairement de dérivée.

Quelques exemples de courbes fractales ; les monstres fractals

 La courbe de von Koch

L'exemple le plus célèbre de courbe fractale est celui du flocon de neige de Helge von Koch, mathématicien suédois qui la publia pour la première fois en 1904 et la décrivit comme "courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire.
A partir d'un segment de longueur un, remplaçons le tiers central par deux segments de même longueur que lui. Au bout de cette première étape, nous obtenons une nouvelle figure. Nous pouvons itérer ce procédé indéfiniment en subdivisant chaque fois les segments en trois parties dont la partie centrale est remplacée par deux segments de même longueur qu'elle. Cette courbe est autosimilaire et donc fractale car elle reste identique à elle même quand on la dilate avec un grossissement égal à une