Dept GEII IUT Bordeaux I

TRANSFORMEES de FOURIER NUMERIQUE et DISCRETE (FAST FOURIER TRANSFORM)
APPLICATIONS
(Vol. 4)

G. Couturier
Tel : 05 56 84 57 58 email : couturier@elec.iuta.u-bordeaux.fr

Sommaire

I- Transformée de Fourier numérique
II- Transformée de Fourier discrète
II-1- les fenêtres d'analyse

Transformées de Fourier numérique et discrète : FFT (Fast Fourier Transform)
Applications
Nous avons montré précédemment l'intérêt de la transformée de Fourier pour obtenir par exemple la réponse en fréquence H(f) d'un système. Le calcul de la transformée de Fourier pose cependant un certain nombre de problèmes, en effet un ordinateur ne peut traiter que des signaux numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une quantification. Par ailleurs la mémoire d'un ordinateur est forcément limitée, il s'ensuit que le calcul porte sur un nombre de points limités.
Dans cette partie on se propose de passer en revue l'ensemble des problèmes posés par l'utilisation de la transformée de Fourier discrète.
I- Transformée de Fourier numérique
On rappelle que la transformée de Fourier X(f) d'un signal x(t) continu dans le temps s'écrit :
X( f ) =

∫

∞

−∞

x (t )e − jωt dt

(1)

Après échantillonnage de x(t), on obtient les échantillons x(nTe) où Te est la période d'échantillonnage. Nous avons vu précédemment que le spectre du signal échantillonné était périodique, de période égale à Fe = 1/Te, et que son module était pair. D'un point de vue mathématique la transformée de Fourier X1(f) des échantillons x(nTe), appelée transformée de
Fourier numérique, s'écrit :
X1( f ) =

k =∞

∑ x( k ) e− jωkTe

(2)

k =−∞

NB : pour simplifier l'écriture on écrit x(k) à la place de x(kTe), ce qui sous entend un échantillonnage à la fréquence Fe = 1/Te.
On vérifie bien que X1(f) est une fonction périodique de période Fe, en effet si on remplace f par (f+MFe) on obtient toujours le même résultat : e − j 2π ( f + MFe