Et cercle circonscrit

I

Triangle et cercle circonscrit
Le cercle passant par les 3 sommets d’un triangle est appelé son cercle circonscrit.
Le triangle est alors inscrit dans ce cercle

Dans un triangle (quel qu’il soit), le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices des côtés

II

Triangle rectangle et cercle circonscrit
1. Théorème 1
Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit
Le triangle ABC est rectangle en A donc son hypoténuse [BC] est le diamètre du cercle circonscrit

2. Théorème 2
Si un triangle est rectangle alors le milieu de hypoténuse est le centre du cercle circonscrit
Le triangle ABC est rectangle en A donc le milieu O de l’hypoténuse [BC] est le centre du cercle circonscrit

3. Théorème 3
Le point O étant le centre du cercle, [AO] est un rayon du cercle. et mesure la moitié du diamètre [BC].

Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en A et O est le milieu du côté [BC]
1
donc AO = BC ou AO = OB = OC
2

4. Exercice corrigé
a. Construire un triangle MEN sachant que MN = 5cm, M =35° et N = 55°.
b. Trouver le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
c. Combien mesure la médiane issue de E ?
a. la construction se fait sans difficulté (règle graduée et rapporteur)
b. On remarque que 35° + 55° = 90° or la somme des angles d’un triangle est de 180° donc l’angle E du triangle MEN mesure 180° - (35° + 55°) = 90°.
On en déduit que le triangle MEN est rectangle en E.
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse (théorème 1) donc Le milieu du côté [MN] est le centre du cercle circonscrit.
c. On trace la médiane issue de E en plaçant le milieu I du côté [MN].
Dans le triangle MEN rectangle en E, la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse (théorème 3) donc EI = 5 : 2 = 2,5cm