Trigonometrie

496 mots 2 pages
TRIGONOMETRIE
En utilisant un cercle trigonométrique, on peut retrouver les formules suivantes: cos(– α) = cos(α) sin(– α) = – sin(α)

cos(π + α ) = – cos(α) sin(π + α) = – sin(α)

cos(π –α) = – cos(α) sin(π–α) = sin(α)

$!
'
" # ) = sin(α)
%2
(

cos %

#!
&
+ " ( = – sin(α)
$2
'

$!
'
" # ) = cos(α)
%2
(

sin %

cos &

#!
&
+ " ( = cos(α)
$2
'

sin &

Les huits formules basiques cos2(α) + sin2(α) = 1

(1)

1

(en divisant par cos2(α))

1 + tan2(α) =

(en divisant par sin2(α))

1 + cotan2(α) =

sin(a + b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a) (3) cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b) (4)

cos 2 (! )

(2)

1 sin (! )
2

sin(a – b) = sin(a).cos(b) – sin(b).cos(a) (5) cos(a – b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b) (6)

Avec a = b dans (3) et (4) et en utilisant (1) sin(2a) = 2.sin(a).cos(a) (7) cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2. cos2(a) – 1 = 1 – 2.sin2(a) (8)

cos2(a) =

1 + cos(2a)

sin2(a) =

2

1 ! cos(2a)
2

x
Cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t = tan !# $&
" 2%

(7) ⇒ sin(x) = 2.sin(x/2).cos(x/2) ⇒ sin( x) = 2.

sin(x / 2) cos(x / 2)

(8) ⇒ cos(x) = 2.cos2(x/2) – 1 ⇒ (avec (2)) cos(x) = 2. tan(x) =

sin(x) cos(x) 2t
1+ t2
1! t2 cos(x) =
1+ t2
2t
tan(x) =
1! t2

.cos 2 (x / 2) ⇒ (avec (2)) sin(x) =
1

1 + tan 2 (x / 2)

!1⇒

donc

Transformations de sommes en produits
Pour obtenir sin(p) + sin(q) :
• On ajoute (3) et (5): sin(a + b) + sin(a – b) = 2.sin(a).cos(b) (*) p+q p!q
"p = a + b
• On pose # donc, par addition et soustraction de ces égalités: a = et b =
2
2
$q = a ! b

! p + q$
! p ' q$
&% cos #"
&
2
2 %

• (*) s'écrit alors: sin(p) + sin(q) = 2.sin #
"

Méthode analogue pour sin(p) – sin(q), cos(p) + cos(q) et pour cos(p) – cos(q)

Linéarisations
Pour linéariser sin(a)cos(b), on ajoute (3) et (5): sin(a + b) + sin(a – b) = 2.sin(a).cos(b)
Pour linéariser cosn(α) ou sinn(α), on utilise les formules d'Euler et la formule du binôme: n n

# ei! + e" i! &
# ei! " e" i! & n cos (! ) = %
(' = ... et sin (! ) = %$ 2i (' = ...
$
2 n Equations usuelles cos(a) =

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