ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

C ORRECTION DU BAC BLANC FÉVRIER 2009
Exercice 1 C ANDIDATS N ’ AYANT PAS SUIVI L’ ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

5 points

On considère la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ex − ln x
→
− →
−
et sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  .
1.

a. Étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = xex − 1. g ′ (x) = e x (1 + x). e x > 0 donc g ′ (x) est du signe de x + 1 sur [0; +∞[, soit strictement positif.
Donc g est strictement croissante sur [0; +∞[.
b. En déduire qu’il existe un réel positif unique α tel que : αeα = 1.
Donner un encadrement de α d’amplitude 10−3 . g (0) = 1 et lim g (x) = +∞, car lim e x = +∞. x→+∞ x→+∞

g est une fonction continue sur [0; +∞[, comme produit et somme de fonctions continues, de plus g est strictement croissante sur [0; +∞[ à valeurs dans
[1; +∞[. Or 0 ∈ [1; +∞[.
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, g (x) = 0 admet une unique solution α dans [0; +∞[, telle que g (α) = 0 ⇔ αe α = 1. g (0, 567) ≈ −3×10−4 < 0 et g (0, 56) ≈ 2, 37×10−3 > 0 donc 0, 567 ≤ α ≤ 0, 568.
c. Préciser le signe de g (x) selon les valeurs de x.
Comme g est continue et strictement croissante sur [0; +∞[ : g (x) < 0 si x ∈ [0; α[ et g (x) ≥ 0 si x ∈ [α; +∞[.
2.

a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0 ; +∞[. lim f (x) = +∞, car e 0 = 1 et lim+ ln x = −∞.

x→0+

x→0

ln x ln x x ln x lim f (x) = lim e x 1 − x = +∞, car lim
= lim
× x = 0, par x x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ e e x e ln x x produit : lim
= 0 et lim x = 0. x→+∞ x x→+∞ e
b. Calculer la fonction dérivée f ′ de f et étudier son signe sur ]0 ; +∞[ en utilisant la question 1.
1 g (x)
=
. x x
Or, x > 0 sur ]0; +∞[, donc f ′ (x) est du signe de g (x). f ′ (x) = e x −

1

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

c. Dresser le tableau des variations de f . x 0 α +∞ f ′ (x)
−
0
+
+∞
+∞
f (x) f (α)
d. Montrer que f admet un minimum m égal à α +
Justifier que : 2, 32

m

On a αe α = 1 ⇔ e α =

1
1
⇔ α = ln
= − ln(α). α α