Type bac math

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Ch 7 Probabilité, conditionnement et indépendance

Correction des exercices type Bac

Exercice 1  : Bac S Asie Juin 2005
Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est demandée.
Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes.
Si le joueur obtient deux boules de couleursdifférentes, il a perdu .
Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m .
Si le joueur obtient deux boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :
. sur [pic] de la roue le gain est de 100 euros,
. sur [pic] de la roue le gain est de 20 euros,
. sur le reste lejoueur est remboursé de sa participation m .
On appelle V l’événement « le joueur a obtenu 2 boules vertes »
On appelle J l’événement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes »
On appelle R l’événement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien » .

1) Quelques calculs.
a) Calculer les probabilités P(V) et P(J) des événements respectifs V et J .
Si on nomme les boulesV1 , V2 , J1 , J2 et J3 alors les 10 cas possibles liés à l’expérience sont : V1J1 ,V1J2 , V1J3 , V1V2 , V2J1 , V2J2 , V2J3 , J1J2 , J1J3 et J2J3 .
On est dans une situation d’équiprobabilité .
L’événement V comporte 1 cas favorable : V1V2 donc P(V) = [pic]= 0,1
L’événement J comporte 3 cas favorables : J1J2 , J1J3 et J2J3 donc P(J) = [pic]= 0,3
b) On note PV(R) la probabilité pourle joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer PV(R) puis P([pic]) .
Arbre des probabilités :
[pic] Gain 100
[pic]
V Gain 10

0,1 [pic] R
0,3 1
JR

0,6
Bicolore 1 Perdu

d) Calculer la probabilité de gagner les 100 euros de la roue :
P(Gain 100 [pic] V ) = [pic] = [pic]
Calculer la probabilité de gagner les 20 euros de la roue :
P(Gain 20 [pic] V ) = [pic] = [pic]
2) On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est àdire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m .
a) Les valeurs de la variable aléatoire X sont : – m , 0 , 20 – m et 100 – m
b) Loi de probabilité de la variable aléatoire X :
|xi |– m |0 |20 – m |100 – m |
|P(X=xi) |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

c) Démontrer que l’espérancemathématique de la variable aléatoire X est
E(X) = [pic] :
E(X) = [pic]
= [pic]
d) L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro.
Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?
Cela revient à résoudre l’inéquation E(X)< 0 car sinon le jeu devient équitable :E(X) = 0 ou àl’avantage du joueur : E(X) > 0 .
E(X)< 0 équivaut à [pic] qui équivaut à : 140 – 51 m < 0 équivalent à m > [pic].
Donc la valeur entière minimale de m est 3 euros .
3) Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus .
Calcul de la probabilité qu’il perde au moins une fois sa mise :
Soit l’événement A : « perdre au moins une fois sa mise au cours des 4 jeux»
L’événement contraire est [pic] : « ne jamais perdre sa mise au cours des 4 jeux » .
P([pic]) = [pic] = [pic]car les 4 jeux sont indépendants les uns des autres .
Donc P(A) = 1 – P([pic]) = [pic]
4) On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois . On note G cet événement .
Pour cela on garde deux...
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