Un peu de topologie

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  • Publié le : 6 décembre 2010
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Un peu de topologie
La topologie est la branche de la géométrie qui s'occupe des propriétés des formes qui subsistent quand ne comptent ni les distances, ni les angles. D'un point de vuetopologique, une pomme et une banane sont identiques, parce que la surface d'une banane peut être déformée pour devenir celle d'une pomme. Certaines formes ne peuvent pas être déformées en d'autres : parexample, un ballon ne peut pas être déformée en cerceau, parce qu'un cerceau est «troué», tandis qu'un ballon ne l'est pas. En revanche, on peut transformer une tasse à thé en cerceau, en étirant l'anse dela tasse. On peut dire que deux formes sont topologiquement équivalentes si l'une de ces formes peut être déformée de manière continue jusqu'à arriver à l'autre forme, sans couper, coller, trouer ouenlever de trou.
Théorie des noeuds
L'inventeur de la théorie des noeuds est lord Kelvin, qui suggéra au XIXe s. que les liaisons entre atomes pouvaient être analysées en termes de vortex noués etreliés entre eux. Son ami P. G. Tait, qui travaillait sur les ronds de fumée, décida d'énumérer tous les noeuds possibles, pour vérifier la théorie de Kelvin. En 1877, Tait avait énuméré tous les noeudspossibles, constitués de 7 mouvements ou moins. Il avait espéré que le résultat correspondrait au tableau périodique des éléments. Ce n'était pas le cas : lord Kelvin s'était trompé, mais la théoriedes noeuds était née.

Un noeud est usuellement défini comme une complication apportée à un morceau de corde possédant deux extrémités libres. Les mathématiciens préfèrent relier ces extrémités. Uneboucle fermée de corde est donc envisageable comme un noeud. Deux noeuds sont appelés équivalents si on peut manipuler l'un de telle sorte qu'il ressemble à l'autre, tout en étant bien sûrdifférents. L'ensemble des noeuds peut être classé suivant le nombre minimal d'intersections nécessaires pour le représenter. Le noeud minimal (la boucle) a donc un indice de croisement égal à 0. Le noeud de...
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