EXERCICE 2 (5 points )

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π . 2 1) 2) Montrer que (1 + i)6 = −8i. On considère l’équation (E) : z 2 = −8i. a) Déduire de 1) une solution de l’équation (E). b) L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. 3) 4) Déduire également de 1) une solution de l’équation (E ′ ) : z 3 = −8i. 2π On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle . 3 a) Déterminer l’affixe b du point B, image de A par r, ainsi que l’affixe c du point C, image de B par r. b) Montrer que b et c sont solutions de (E ′ ). 5) − → a) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O, →, − ) u v (unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C. b) Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? c) Déterminer le centre de gravité de cette figure.

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EXERCICE 2

1) 1ère solution. D’après la formule du binôme de newton, on a 6 6 0 6 5 1 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 1 5 6 0 6 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i 0 1 2 3 4 5 6

(1 + i)6 =

= 1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1 = −8i. 2ème solution. Mettons 1 + i sous forme trigonométrique et pour cela calculons d’abord le module de 1 + i. |1 + i| = Mais alors, 1+i= Par suite, (1 + i)6 = On a montré que (1 + i)6 = −8i.
2

12 + 12 =

√ 2.

√

2

1 1 √ +√ i 2 2

=

√ π π 2 cos + i sin 4 4

=

√ iπ/4 2e .

√ iπ/4 2e

6

√ = ( 2)6 e6iπ/4 = 8.e3iπ/2 = 8 cos

3π 2

+ i sin

3π 2

= −8i.

2) a) D’après 1), (1 + i)3

= (1 + i)6 = −8i. Une solution de l’équation (E) est donc (1 + i)3 . Or, (1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i − 3 − i = −2 + 2i,

et donc une solution de l’équation (E) est −2 + 2i.

b) Soit z un nombre complexe. z2 = −8i ⇔ z2 = (−2 + 2i)2 ⇔ z2 − (−2 + 2i)2 = 0 ⇔ (z − (−2 + 2i))(z − (2 − 2i)) = 0 ⇔ z = −2 + 2i ou z = 2 − 2i. les solutions de