Variations des fonctions
L'étude des variations d'une fonction consiste à déterminer les intervalles sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.

A - Sens de variations d'une fonction
1- Fonctions croissantes
Une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres. Quels que soient les réels a et b de I, si a<b alors f(a)<f(b).
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f
«monte» sur l'intervalle I.
Exemple
La fonction f est croissante sur I.
La courbe monte.
Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent aussi : f conserve l'ordre des nombres.

2- Fonctions décroissantes
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres. Quels que soient les réels a et b de I, si a<b alors f(a)>f(b).
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f
«descend» sur l'intervalle I.
Exemple
La fonction f est décroissante sur I.
La courbe descend.
Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) diminuent : f inverse l'ordre des nombres.

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B - Tableau de variations
Soit f une fonction définie sur un intervalle D.
Pour construire le tableau des variations de la fonction f sur D on détermine les intervalles I contenus dans D sur lesquels f est monotone, c'est à dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des flèches indiquent la croissance ou la décroissance de f.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [-2 ;3] dont la courbe représentative est dessinée.
On observe que :
- f est décroissante sur [-2; -1]
- f est croissante sur [1; 2]
- f est décroissante sur [2; 3]
D'autre part f(-2)=2, f(-1)=-1, f(2)=3 et f(3)=2.

Tout ceci peut être résumé dans le tableau de variations suivant :
2
3 x -2
-1
3

2 f(x) -1

2

C - Fonctions et équations
Considérons la