Maths Ecricome mai 2000
Voie Economique
Exercice 1
Soit X une variable aléatoire à densité dé…nie sur un espace probabilisé.
On note f une densité de X, F sa fonction de répartition. On fait les trois hypothèses suivantes:
1. (a)

i. Si t appartient à ] 1; 0[, f (t) = 0. ii. Si t appartient à [0; +1[, f (t) est strictement positif. iii. f est continue sur ]0; +1[.

2. Montrer que l’ équation F (x) =

1 admet une solution unique sur
2

]0; +1[.
Cet unique réel, que l’ notera m, sera appelé médiane de X. on 3. Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre 1.
Montrer que X satisfait aux hypothèses du début de l’ exercice et déterminer la médiane de X.
4. On suppose dans cette question que la densité de X est donnée sur
[0; +1[ par f (t) = t e t et sur ] 1; 0[ par f (t) = 0.
(a) Véri…er que f satisfait aux hypothèses du début de l’ exercice. (b) Déterminer la fonction de répartition F de X.
(c) Montrer, sans chercher à la calculer, que la médiane m de X véri…e 1 m 2.
(On donne 6 < e2 < 9).
On se propose, dans la suite de cette question, de calculer une valeur approchée de m. On introduit pour cela la fonction g dé…nie sur [1; 2] par g(x) = ln(2x + 2), fonction qui va permettre de construire une suite convergeant vers m.
(d) Montrer que g(m) = m.
(e) Montrer que si x appartient à [1; 2] alors g(x) appartient à [1; 2] et 1 jg(x) mj jx mj
2
(f) On considère la suite (un ) dé…nie par u0 = 1 et pour n > 0 par un = g(un 1 ).
1 n
Montrer que jun mj
2
1

(g) Déterminer un entier n tel que un soit une valeur approchée de m à 10 2 près.
5. On revient maintenant au cas général et on suppose que la variable X admet une espérance E(X) et une variance V (X). On note toujours m la médiane de X.
(a) Montrer qu’ a les inégalités : on Z m
(t E(X))2 f (t) dt
V (X)

et

Z

V (X)

jm

(t E(X))2 f (t) dt

m

0

(b) En distinguant les cas m

+1

E(X) et m > E(X), montrer que: