Vibrations & ondes
6.1
6.1.1
Propagation à une dimension
Equation de propagation
Dans les phénomènes vibratoires traités dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés à des phénomènes ou des grandeurs physiques qui dépendaient d’une seule variable, le temps. Nous allons maintenant examiner toute une une série de phénomènes qui sont décrits par une fonction qui dépend à la fois du temps t et d’une variable d’espace , x par exemple. Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation d’onde ou équation de propagation à une dimension de la forme : 1 ∂2s ∂2s − =0 ∂x2 V 2 ∂t2 dans laquelle V est une grandeur physique qui a les dimensions d’une vitesse et sera appelée dans la suite vitesse de propagation.
6.1.2
Solution de l’équation de propagation
Méthode de D’Alembert Pour résoudre l’équation des ondes à une dimension, opérons le changement de variable suivant : x η = t− V x ξ = t+ V Calculons les dérivées partielles par rapport à t et x, en fonction des dérivées partielles par rapport à η et ξ. Sachant que : ∂η = ∂ξ = 1 et que ∂t ∂t ∂ξ 1 ∂η =− = ∂x ∂x V on obtient http://www.usthb.dz/cours/cours_djelouah/ 41
6.1 Propagation à une dimension
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∂s ∂η ∂s ∂ξ ∂s ∂s ∂s = + = + ∂t ∂η ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂ξ ∙ ¸ ∂s ∂η ∂s ∂ξ 1 ∂s ∂s ∂s = + = − ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂x V ∂η ∂ξ En tenant compte de ces résultats et sachant que ∂2s ∂2s = ∂η∂ξ ∂ξ∂η on obtient : ∂2s ∂2s ∂2s ∂2s + 2 = −2 ∂t2 ∂η2 ∂η∂ξ ∂ξ ∙ 2 ¸ 2 ∂2s 1 ∂ s ∂2s ∂ s + = −2 ∂x2 V 2 ∂η 2 ∂η∂ξ ∂ξ 2 s ∂ En remplaçant dans l’équation d’onde ∂ 2 et ∂xs par les expressions ci-dessus, on obtient 2 ∂t l’équation d’onde exprimée en fonction des dérivées partielles par rapport aux variables η et ξ : ∂2s =0 ∂η∂ξ Cette dernière équation peut s’écrire ∙ ¸ ∂ ∂s =0 ∂ξ ∂η
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Un intégration par rapport à ξ donne : ∂s = f (η) ∂η où f (η) est une fonction qui ne dépend que de η (et pas de ξ). Enfin une intégration par rapport à η donne : s