4ème année
Maths

Similitudes du plan : Sessions antérieures

Décembre 2009
A. LAATAOUI

Session principale 2008 : ©
Le plan est orienté dans le sens direct. uuu Ùuuu r r p
OAB est un triangle rectangle et isocèle tel que OA = OB et OA, OB º [ 2p ] .
2

(

)

on désigne par I le milieu du segment [AB] et par C et D les symétriques respectifs du point I par rapport à O et à B.
(Voir figure)

Soit f la similitude directe qui envoie A sur D et O sur C.
1. Montrer que f est de rapport 2 et d’angle

p
.
2

2. a) Montrer que O est l’orthocentre du triangle ACD.
b) Soit J le projeté orthogonal du point O sur (AC).
Déterminer les images des droites (OJ) et (AJ) par f et en déduire que J est le centre de la similitude
f.
3. Soit g la similitude indirecte de centre I, qui envoie A sur D.
a) Vérifier que g est de rapport 2 et d’axe (IC). En déduire g (O).
b) Déterminer les images de C et D par g o f-1. En déduire la nature de g o f-1.
4. Soit I ¢ = f (I) et J ¢ = g (J)
1

Similitudes du plan : Sessions antérieures. 4ème Maths.

http://b-mehdi.jimdo.com

www.espacemaths.com

a) Déterminer les images des points J et I ¢ par g o f-1.
b) Montrer que les droites (IJ), (I ¢ J ¢) et (CD) sont concourantes.
Session principale 2009 : © uuu Ùuuur r p
Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB, AC º [ 2p ] .
2

(

)

On désigne par I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [AC] et [JC].
1. Faire une figure
2.

Soit f la similitude directe de centre J qui envoie A sur K.
a) Déterminer l’angle et le rapport de f.
b) Justifier que f (K) = L.
c) Soit H le milieu du segment [AJ]. Justifier que f (I) = H.

uuu uuur r 3. On munit le plan du repère orthonormé direct A, AB, AC .

(

)

Soit j l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ¢ d’affixe z ¢
1+ i æ1+ i ö tel que z ¢ = - ç
÷z +
2
è 2 ø
a) Montrer que j