ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2001 FILIÈRE

PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu’à la mécanique quantique.

Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé. Première partie

Pour tout n ∈ N, on considère la fonction polynomiale Pn , définie par Pn (x) = 1 dn (x2 − 1)n 2n n! dxn

pour x ∈ R. Il résulte des conventions habituelles que P0 (x) = 1 pour x ∈ R. 1.a) Montrer que le polynôme Pn est de degré n. Quel est le coefficient du terme de degré n dans Pn ? b) Pour quelles valeurs de n la fonction Pn est-elle paire ? impaire ? c) Calculer Pn (1) et Pn (−1). 2. Soit n 1. Montrer que pour tout m ∈ N tel que 0
1

m

n − 1,

Pn (x) xm dx = 0 .
−1

103

3. On désigne par E l’espace préhilbertien réel des fonctions continues sur [−1, 1] muni du produit scalaire
1

(u | v) =
−1

u(x)v(x) dx ,

pour u, v ∈ E. a) La famille (Pn )n∈N est-elle une famille orthogonale dans E ? b) Calculer (Pn | Pn ) pour chaque n ∈ N. dPn d (x2 − 1) (x) est orthogonal à xm pour tout m ∈ N 4.a) Soit n 1. Montrer que dx dx tel que 0 m n − 1. b) Montrer que, pour tout n ∈ N, Pn est solution de l’équation différentielle (x2 − 1)y + 2x y − n(n + 1)y = 0 .

Deuxième partie

5. Soit n ∈ N et soit m ∈ N tel que 0

m

n. On pose m fn,m (x) = (1 − x2 ) 2 pour x ∈ [−1, 1].

dm Pn (x) dxm

a) Etudier la parité des fonctions fn,m suivant les valeurs de n et m. b) Montrer que fn,m ∈ E et que, si n ∈ N, n = n et 0 orthogonales dans E. m n , alors fn,m et fn ,m sont

Dans la quatrième partie, on utilisera la propriété