s Exercice 1 m 1. Calculons le PGCD des nombres 240 et 375 à l’aide de l’algorithme

d’Euclide. 375 = 1 × 240 + 135 240 = 1 × 135 + 105 135 = 1 × 105 + 30 105 = 3 × 30 + 15 30 = 2 × 15 + 0 Le dernier reste non nul est 15. Conclusion : 15 est le PGCD des nombres 240 et 375.

© H A T I E R 2009

m 2. Posons

240 F = -------- . 375 Nous avons 240 = 16 × 15 et 375 = 25 × 15 , alors : 16 × 15 F = ----------------- ou encore 25 × 15 16 F = ----25

En divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, on est certain d’obtenir une fraction irréductible.

s Exercice 2 m 1. Choisissons

le nombre 2. Attention ! Chacune En suivant la première étape, on élève au carré et on des consignes relatives au programme trouve 4. de calcul s’applique En suivant la deuxième étape, on multiplie le résultat au résultat trouvé à la fin de l’étape par 10 et on trouve 40. précédente. En suivant la troisième étape, on ajoute 25 au résultat et on trouve 65. Le résultat indiqué dans le texte est bien exact. m 2. Choisissons le nombre 2 . En suivant la première étape, on trouve 2. En suivant la deuxième étape, on trouve 20. En suivant la troisième étape, on trouve 45. Le résultat final est donc 45. m 3. Choisissons un nombre n pair. Alors n = 2k , où k désigne un autre entier. En suivant la première étape, on trouve 4k 2 . En suivant la deuxième étape, on trouve 40k 2 . En suivant la troisième étape, on trouve 40k 2 + 25 . 40k 2 est un multiple de 40, c’est donc un nombre pair. Lorsqu’on lui ajoute 25, qui est un nombre impair, on trouve donc un nombre impair. Clémence n’a pas raison. m 4. Choisissons un nombre quelconque m. En suivant la première étape, on trouve m 2 . En suivant la deuxième étape, on trouve 10m 2 . En suivant la troisième étape, on trouve 10m 2 + 25 . m 2 est un carré, c’est un nombre positif ou nul. 10m 2 + 25 est donc positif. Margot a raison.
© H A T I E R 2009

s Exercice 3
Léa n’a pas donné un argument permettant de répondre de