Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct (O;vecteur u,vecteur v) (unité graphique 2 cm).
On considère les points I et A d'affixe respectives 1 et -2. Le point K est le milieu du segment [IA]
On appelle (C) le cercle de diamètre [IA]. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.
1°) Soit B le point d'affixe b = (1 + 4i)/(1 - 2i) . Ecrire b sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle (C)
(C) est le cercle de diamètre [IA] donc de centre K milieu de {IA] et de rayon KI = 1/2 IA = 3/2 b = (1 + 4i)/(1 - 2i) =(1 + 4i)(1 + 2i)/(1 - 2i)(1 + 2i) = (1 + 8 i2 + 2i + 4 i )/ (12 -(2i)2) = (- 7 + 6 i)/ 5
KB2 = (-7/5 +1/2)2 + (6/5 - 0)2 = 9/4 donc KB = 3/2 donc K appartient au cercle (C) de centre K et de rayon 3/2

2°) Soit D le point du cercle (C) tel que l'angle(vecteur KI, vecteur KD) = Pi/3 + 2 k Pi où k est un entier relatif et soit d l'affixe de d.
a) Quel est le module de d + 1/2 ? Donner un argument de d + 1/2 . module(d + 1/2) = module (d - (-1/2))= module(affixe de D - affixe de K)) = DK = rayon du cercle (C) = 3/2 argument(d + 1/2) = argument(d - (-1/2))= argument(affixe de D - affixe de K)) = argument(affixe du vecteur KD) = une mesure de l'angle(vecteur u, vecteur KD) = une mesure de l'angle(vecteur KI, vecteur KD) = Pi /3 car le vecteur KI est égal à (3/2) vecteur u
b) En déduire que d = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 donc d + 1/2 = module de (d + 1/2) e i argument(d + 1/2) = (3/2) e i Pi/3 = (3/2) (1/2 + i racine carrée(3)/2) d'où d = -1 /2 + 3/4 + 3i racine carrée(3)/4 = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4
c) Déterminer un réel a vérifiant l'égalité (1 + 2ia)/ (1 - ia ) = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4
(1 + 2ia)/ (1 - ia ) = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 équivaut à
(1 + 2ia) 4 = (1 - ia) ( 1 + 3 i racinecarrée(3) ) équivaut à
4 + 8 ia = 1 + 3 i racine carrée (3) - ia - 3 i2 a racine carrée (3) équivaut à a( - 3 racine carrée de 3 + 9 i) = - 3 + 3 i racine carrée(3) équivaut à
3a( - racine carrée de 3 + 3 i) = 3(- 1+ i