Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009

E XERCICE 1 → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v .

4 points

1. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : z = 1 − 2i + eiθ , θ étant un nombre réel. z = 1 − 2i + eiθ , ⇒ |z − (1 − 2i)| = eiθ soit |z − (1 − 2i)| = 1. Conclusion : les points M d’affixe z sont à la distance 1 du point d’affixe 1− 2i. Comme θ ∈ R, la réponse est c.

z ′ − (−1 − i) = −i[z − (−1 − i)]. f est donc la rotation de centre le point d’afixe π −1 − i et d’angle − . Réponse d. 2 3. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z − 1 + i| = |z + 1 + 2i|.

2. Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = −iz − 2i. Un point M d’affixe z est invariant par f si et seulement si : z = −iz − 2i ⇐⇒ −2i z(1 + i) = −2i ⇐⇒ z = = −1 − i. 1+i Il y a donc un point invariant par f . z′ = −iz − 2i entraîne par différence : −1 − i = −i(−1 − i) − 2i

Soient les points A, B et C d’ affixes respectives 1 − i, − 1 + 2i et −1 − 2i. |z − 1 + i| = |z + 1 + 2i| peut s’écrire |z − (1 − i)| = |z − (1 − 2i)| qui montre que M est équidistant des deux points A et C ; donc M appartient à la médiatrice de [AC]. Réponse c.

4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z + |z|2 = 7 + i. En posant z = x + iy, l’équation proposée s’écrit : x + iy + x 2 + y 2 = 7 + i, soit en identifiant parties réelles et parties imaginaires : x + x2 + y 2 y = = 7 1

La partie imaginaire de(s) la solution(s) est égale à 1. La première équation s’écrit : x + x 2 + y 2 = 7 ⇐⇒ x 2 + 1+ x = 7 ⇐⇒ x 2 + x − 6 = 0 ⇐⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇐⇒ x = 2 ou x = −3.

Vérification : avec z1 = 2 + i, 2 + i + 4 + 1 = 7 + i : ce nombre est solution. Avec z1 = −3 + i, − 3 + i + 9 + 1 = 7 + i : ce nombre est solution. Réponse a.

E XERCICE 2 Partie A

6 points

2. f produit de fonctions dérivables sur [0 ; +∞[ est dérivable sur cet intervalle et f